dérangements!!

1-calculer le nombre de bijections de {1,2....n}dans {1,2....n} ayant exactement k points fixes en fonction du nombre de bijections sans points fixes d'un ensemble à n-k éléments dans lui même.

2-en déduire le nombre de bijections sans point fixe (dérangements) de {1,2....n} dans {1,2....n}.

amine2007 a écrit:

1-calculer le nombre de bijections de {1,2....n}dans {1,2....n} ayant exactement k points fixes en fonction du nombre de bijections sans points fixes d'un ensemble à n-k éléments dans lui même.

2-en déduire le nombre de bijections sans point fixe (dérangements) de {1,2....n} dans {1,2....n}.

C'est une question de Niveau Sup amine2007 !!
Et un problème classique en Prépas !!
Si on note D{n;k} l'ensemble des dérangements de E={1,2,.....,n} ayant k points fixes avec 0<=k<=n alors on peut avec bcp de LABEUR prouver que card D{n;k}=C(n;k).card D{n-k;0}
et enfin pour la 2) :
Les ensembles D{n;k} lorsque k varie de 0 à n forment une PARTITION de l'ensemble Sn , ensemble des bijections de E . Or cet ensemble a pour cardinal n! ( factorielle n )
Donc n != card D{n ;0}+SIGMA { k=1 à n ; C(n;k).card D{n-k;0} }
Ce sont des Démos assez lourdes et je n'ose pas vu ton niveau .
En conclusion , l’ensemble de la question 2) c’est D{n ;0}
Et son cardinal est :
n! - SIGMA { k=1 à n ; C(n;k).card D{n-k;0} }

Et pour la beauté de la Formule , la voilà :
n! . SIGMA{ k=0 a n ; (-1)^k/k! }
notée souvent !!n

merci bcp,
on m'a conseillé sinon d'utiliser une formule "d'inversion de Pascal"..cela sera-t-il moins "lourd" pour moi niveau compréhension?

amine2007 a écrit:

merci bcp,
on m'a conseillé sinon d'utiliser une formule "d'inversion de Pascal"..cela sera-t-il moins "lourd" pour moi niveau compréhension?

BSR amine2007 !!
Je ne connais pas cette formule par conséquent je ne saurai te répondre.
Tu pourrais l'exposer ici par exemple pour nous Tous , cela sera instructif et enrichissant à la fois !!!!

oui je connais la formule (c'est une formule classique en Prépas !!)
mais je n'ai pas encore réussi à l'appliquer dans ce cas
Soient (an) et (bn) deux suites telles que :
an = sigma(k allant de 0 à n)[C(k/n).bk]
donc bn=sigma(k allant de 0 à n)[ak.C(k/n).(-1)^(n-k)].
rem:C(k/n)=C de k parmi n

amine2007 a écrit:

oui je connais la formule (c'est une formule classique en Prépas !!)
mais je n'ai pas encore réussi à l'appliquer dans ce cas
Soient (an) et (bn) deux suites telles que :
an = sigma(k allant de 0 à n)[C(k/n).bk]
donc bn=sigma(k allant de 0 à n)[ak.C(k/n).(-1)^(n-k)].
rem:C(k/n)=C de k parmi n

Sans doute , je vois mais elle te servira surtout pour la question 2)
Par contre , la question 1) nécessite , dans ses développements , un peu de bagage dépassant sûrement le niveau de Terminales Maths !!!!

d'accord..merci

C'est bon