equation fonctionnelle

trouver toutes les fonctions f de R dans C continues telles que pour tout (x,y)dans R^2: f(x+y)=f(x)f(y)

ona f=0 verifie
pour f non nulle:on pose f(x)=A(x)exp(iB(x))
avec A>0 et B reel
==>A(x+y)=A(x)*Ay) et B(x+y)=B(x)+B(y)[2pi]
donc A(x)=exp(x).
je reste bloqué sur l'equation de B

f(x)= e^(ax) avec a apprt a C

ou f(x)=0

enfin je crois.

Dsl pour considérer ma réponse comme étant juste il faut ajouter que f est dérivable sur IR.

aissa a écrit:

pour quoi B est reél ?
- on a si f existe alors f >= o ( car f(x) = (f(x/2))².
- f(o) = o ou 1
- si f(o) = 1 tu montre que
i) pour tout n de N on a : f(n) = a.n ou a= f(1).
pour tout n de Z resp tout r de Q :f(n =a.n resp f(r) = ar.
iii) Qest dense dans R plus f continue sur R et conclure.
bon courage

BJR à Tous & Toutes !!
BJR Mr AISSA !! Comment allez-vous ???
Votre schéma d'indications conduit à trouver tous les homomorphismes continus du groupe {IR;+} dans le groupe {IR*;x} .Cependant , une rectification : f(n)=a^n .....f(r)=a^r puis f(x)=exp(xLn(a)) lorsque f(0)=1
MAIS :

amine2007 a écrit:

trouver toutes les fonctions f de R dans C continues telles que pour tout (x,y)dans R^2: f(x+y)=f(x)f(y)

pour amine2007 , les applications qu'il recherche sont à valeurs dans C et donc , on ne peut invoquer ceci :
<< on a si f existe alors f >= 0 , car f(x) = (f(x/2))² >>

quelqu'un a t il une idée sur comment resoudre B(x+y)=B(x)+B(y)[2pi] avec B une fct à valeurs reelles?cela pourrait aider à conclure(voire mon poste qui précéde)

joystar1 a écrit:

quelqu'un a t il une idée sur comment resoudre B(x+y)=B(x)+B(y)[2pi] avec B une fct à valeurs reelles?cela pourrait aider à conclure(voire mon poste qui précéde)

BJR joystar1 !!
On a pour tout x,y dans IR , il existe K dans Z tel que
B(x+y)=B(x)+B(y) + 2KPi
Tu fais x=y=0 , alors 2KPi=-B(0) ainsi K ne dépend pas de x ni de y .
L'équation devient :
B(x+y)=B(x)+B(y)-B(0) pour tout x, y dans IR
et c'est à chercher parmi les fonctions dites affines B(x)=ax+b avec a, b dans IR ; on trouve :
B(x+y)=ax+ay+b=ax+b+ay+b-b
et c'est OK !!!!!!!!!
( Indication : Tu poses H(x)=B(x)-B(0) alors H vérifie H(x+y)=H(x)+H(y) donc H est LINEAIRE )

Par suite , il ya erreur chez twa à propos de A , la fonction est de la forme A(x)=d.exp(cx) avec c et d constantes réelles arbitraires ; d égal à 0 ou 1 !!
En définitive ;les solutions devraient etre de la forme :
f(x)=d.exp(cx).exp{i(ax+b)}=f(0).exp(M.x)
avec M=c+ia et f(0)=0 ou 1 .

salut, merci Oeil_de_Lynx pour la réponse et la correction faite(j'ai pas fait attention au exp(iax))
NEANMOINS je ne suis pas convaincu de ce passage:"Tu fais x=y=0 , alors 2KPi=-B(0) ainsi K ne dépend pas de x ni de y".
le K dont il est question peut etre interpreté comme fct à 2variable(xety) à valeur ds Z
auquel cas vs n'avez calculer que K(0,0).

joystar1 a écrit:

salut, merci Oeil_de_Lynx pour la réponse et la correction faite(j'ai pas fait attention au exp(iax))
NEANMOINS je ne suis pas convaincu de ce passage:"Tu fais x=y=0 , alors 2KPi=-B(0) ainsi K ne dépend pas de x ni de y".
le K dont il est question peut etre interpreté comme fct à 2variable(xety) à valeur ds Z
auquel cas vs n'avez calculer que K(0,0).

Oui , il est VRAI que K dépend de x et y .
Et en effet , il y avait une zône d'ombre à ce niveau là !!!!
Voilà un peu de Lumière ......
Notons le K(x,y) comme tu le suggères !
Mnt la fonction:
(x,y) ----------> K(x,y)= {1/(2.Pi)}.{B(x+y)-B(x)-B(y)}
de IRxIR à valeurs discrètes dans Z est CONTINUE psque B l'est .
On peut en déduire alors que cette fonction
K est obligatoirement constante
et le Tour sera joué !!!!

salut, merci Oeil_de_Lynx et joystar1 pour votre aide,
est ce que vous pourriez bien expliquer pourquoi
"On peut en déduire alors que cette fonction
K est obligatoirement constante"??

amine2007 a écrit:

salut, merci Oeil_de_Lynx et joystar1 pour votre aide,
est ce que vous pourriez bien expliquer pourquoi
"On peut en déduire alors que cette fonction
K est obligatoirement constante"??

BJR à Vous !!
Des explications élémentaires ou niveau Sup-Spés ???
Si c'est la deuxième éventualité alors :
1) Tu montres en utilisant la continuité de K que K est LOCALEMENT CONSTANTE sur IRxIR ( cela veut dire qu'en chaque point de IRxIR il en existe un voisinage dans IRxIR sur lequel K est constante ).
2) Ensuite , en raison de la CONNEXITE de IRxIR en tant qu'espace topologique , on prouve alors que K est globalement constante.

Voici un lien intéressant :
<<http://fr.wikipedia.org/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques) >>