oral ENS 2005

Pour p>2: Soit A notre matrice et B=A-I_n.
Supposons que B n'est pas 0, puis appelons t le plus grand entier naturel tel que p^t divise toutes les [B]_{ij} où i,j= 1,n.
On a alors que [B^k]_{ij} est divisible par p^{tk}.
A^k= (I_n+B)^r= I_n+ rB+ o(B^2)= I_n, donc on doit avoir rB+ o(B^2)=0. Mais l'on a que rB a un terme qui n'est pas divisible par p^{t+1} et o(B^2) a tous ses termes divisibles par p^{t+1} ce qui nous amène à la contradiction.
Petite remarque: B a tous ses termes divisibles par p.

En modifiant un peu mon raisonnement, ça s'applique aussi pour p=2.

Ce n'est pas vrai pour p=2 : prendre A=-In (sauf erreur bien entendu)

Oui, tout à fait.
Je n'avais pas vu le "nombre premier impair", et comme ma preuve ne marchait que pour p>2.. je ne comprenais pas.

En revanche, ceci m'a inspiré un très très joli problème :
On suppose p=2.
Trouver toutes les matrices pour lesquelles le truc est faux.

Bonjour;
mathman , comment peux tu affirmer que rB a un terme qui n'est pas divisible par p^(t+1)
et si r était lui même un multiple de p