inega :oim

soient a,b,c>0 tels que abc=1
prouver que:a^3/(b+1)(c+1) +b^3/(c+1)(a+1) +c^3/(a+1)(b+1)>=3/4

elle est facile .
tente d'utiliser chebichev puis une petite fonction

j ai une solution tres simple mais je sais po si c est juste ou po je vais la poster apres pour le moment j attends vos réponses

tu px nous expliquer c koi ça greatesmaths j ai rien pigé

slt cava voila ma solution


on a

a3/(1+b)(1+c) +1/8(1+b) +1/8(1+c) >=3/4(a)

b3/(1+a)(1+c) +1/8(1+a) +1/8(1+c)>=3/4(b)

c3/(1+a)(1+b) +1/8(1+a)+1/8(1+b)>=3/4(c)
.
on fait la somme donc
//////////////////+3/4+1/4(a+b+c)>=3/4(a+b+c) donc

a3/(1+b)(1+c)+b3/(1+a)(1+c)+c3(1+b)(1+a)>=1/2(a+b+c)-3/4

on a 1/2(a+b+c)>=3/2
donc on conclu le resultat

on suppose x ≤ y ≤ z. donc1/( (1+y)(1+z) ) ≤ 1/( (1+z)(1+y) ) ≤ 1/( (1+x)(1+y) ). donc par Chebyshev's inequality on doit démontrer que x3/( (1 + y)(1 + z) ) + y3/( (1 + z)(1 + x) ) + z3/( (1 + x)(1 + y) ) ≥ 1/3 (x3 + y3 + z3)(1/( (1+y)(1+z) ) + 1/( (1+z)(1+x) ) + 1/( (1+x)(1+y) ) = 1/3 (x3 + y3 + z3)(3 + x + y + z)/( (1+x)(1+y)(1+z) ). on pose A = (x + y + z)/3. on a (a + h)3 + (a - h)3 = 2a3 + 6ah2 ≥ 2a3, donc pour x + y + z, x3 + y3 + z3 est petite lorsque x = y = z. en effet 1/3 (x3 + y3 + z3) ≥ A3. par AM/GM on a (1+x)(1+y)(1+z) <= (1+A)3. donc 1/3 (x3 + y3 + z3)(3 + x + y + z)/( (1+x)(1+y)(1+z) ) ≥ A3(3 + 3A)/(1+A)3 = 3A3/(1+A)2. A ≥ (xyz)1/3 = 1, donc 3A3/(1+A)2 ≥ 3(1 - 1/(1+A) )2 ≥ 3/4.

yes très bien pote

dsl je sè po ce qui sé passer je vais refaire se chamboulement

suposons:a>b>c alors:
1/(a+1)(b+1)=x=3abc=3 :égalité dans le cas a=b=c=1 c est le minimum de a+b+c car a+b+c>=3raccub(abc)=3
donc d apres IAG:S>=x+y+z>=3raccub(xyz)>=3raccub(1/(1+1)(1+1)*1/4*1/4)=3/4
conclusion S>=3/4

je sais vraiment po ce qui ce passe j ecris la solution et quand je la poste la moitié passe chamboulé et l autre moitié ne se poste po

je vais tenter une dernière fois