Bonjour, appelons (1) l'équation en question.
pour y=0, (1) donne f(x)(f(-1)+1)=x²f(0). Si f(-1)+1 est non nul alors
f(x)=f(0)x²/(f(-1)+1). Donc f(0)=0 parsuite f est nulle.
Si f(-1)=-1, alors f(0)=0. Montrons que f ne s'annule qu'au point 0. Soit x tel que f(x)=0. si dans (1) on prend x et y=-1 on trouve x=0.
Dans (1), x=y=1 , f(1)f(f(1)-1)=f(1)-f(1)=0. Comme f(1) non nul, alors f(f(1)-1)=0. Donc, d'après ce qui précéde f(1)=1.
Pour x=1, (1) donne f(y-1)= f(y)-1.
Donc (1) devient f(x)f(yf(x)-1) = f(x) f(yf(x)) - f(x)=x²f(y)-f(x).
i.e f(x)f(yf(x)) =x²f(y) (2).
f impaire . en effet pour x=-1 et -y dans (2) on a f(-1)=-1 donc
-f(y)=f(-1)f(-yf(-1)) =f(-y)
Pour x non nul et y=x. (2) donne: f(xf(x)) = x².
Pour x non nul et y=1. (2) donne: f(x) f(f(x)) = x².
noter que ces deux égalités sont vraies aussi pour x=0 puisque f(0)=0.
Soit x dans IR. On pose y=f(x), alors yf(y)=x². Mais f(yf(y))=y² d'où f(x²)=f(x)².
Soit x dans IR+. On pose x=y² ( y positif) alors yf(y) positif et on a f(yf(y))=x. Donc f(IR+) = IR+.
f est injectif sur IR+ . En effet si x et x' dans IR+* tels que f(x)=f(x'),
alors , d'aprés (2) on a : x²=f(xf(x))=f(xf(x'))= x'²f(x)/f(x')=x'² i.e x=x'.
Donc f est une bijection de IR+ sur IR+ et puisqu'elle est impaire, f est une bijection de IR sur IR.
Soit g sa réciproque.
Soit x dans IR , posons y=xf(x). On a f(y)=x²=g(x)².
Par ailleurs, x et g(x) ont même signe donc g(x)=x. Par suite , f(x)=x pour tout x.
AA+
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