ECHAUFEMENT

soit a, b et c les angles d'un triangle.
Prouver que sin(a/2).sin(b/2).sin(c/2)< 1/4
A+

slt.
supposons,a=<b=<c.donc a/2=<30, donc sin(a/2)=<1/2 et b/2 est aigue et b/2=(90-c/2)-a/2<90-c/2.donc sin b/2.sin c/2<sin(90-c/2)sin c/2=cosc/2.sinc/2=1/2sinc=<1/2.

easy , le maximum de l LHS est 1/8 je pense , donc on peut ussi prouver que :

sinA/2*sinB/2*SinC/2=< 1/8

des indices :

sum(tanA/2*tanB/2)=1

donc tanA/2*tanB/2*tanC/2=< 1/3V3

et utiliser le fait que sinA+sinB+sinC=4cosA/2*cosB/2*cosC/2

et pui la concavité de Sin

memath c just cke ta fè. sin(a/2).sin(b/2)?sic(c/2) <= 1/8 or 1/8 < 1/4 d'ou le resultat

kan a greatsmaths on sait seulment ke 0< sin(a/2) <= pi/2 dnc explik moi un peu c ke ta fè

on suppose que a/2>30 et b/2>30 et c/2>30 donc a/2+b/2+c/2>90 .contradiction.
donc au moins min(a/2,b/2,c/2)=<30 .j'e suppose que ,a=<b=<c
donc a/2=<30.
pourtant elle n'est pas si compliqué!

euh j crois que tu voulé dire a>60 , b>60 , c>60

donc a+b+c>180 d ou la contradiction

les inedices que j ai donné en haut fournissent une belle et simple preuve.

@ vous mntnt

we memath merci

il n y aura pd d'inégalités dans l'imo 2008

merci a vous
A +