joli

trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles la suites x_n=n*{a*n!} soit convergente.

PS: {x} est la partie décimale de x.

ta rien demontrer mon amis

ouias Kalm ,je vois...c'est pas une preuve.

awdi rah koulna wslna l dik R/Q w houwa dar liha kanhna w mcha

Voici une version plus détaillée :

wellcome :
>on dit plutot inf|{a.n!}| et je crois que "ce min nn nul " dont tu parles n'existe po malheureusement ( l'inf est= o)
> je pense que l'adhernce de{a.n!} est ]o,1[ lorsque a irrationnel est ce que cela peut aider !?

welcome to hypermb
tu as vraiment une trés bonne rédaction.BRAVO!
malheureusement la réponse que tu as proposé est insuffisante,en fait c'est l'une des exos que j'ai pasée toute l'année derniere pour le résoudre et sans l'assistance de mon prof je pense pas que j'ai pu le resoudre.
pour indication:la réponse est so strange...c'est a £ Q+Ze (e c'est l'exponentiel)

boukharfane radouane a écrit:

welcome to hypermb
tu as vraiment une trés bonne rédaction.BRAVO!
malheureusement la réponse que tu as proposé est insuffisante,en fait c'est l'une des exos que j'ai pasée toute l'année derniere pour le résoudre et sans l'assistance de mon prof je pense pas que j'ai pu le resoudre.
pour indication:la réponse est so strange...c'est a £ Q+Ze (e c'est l'exponentiel)

wow pr Q c bien clair mais pr e je crois que ça revient au fait que e=sum 1/k! c'etait bien cachée cette irationelle !!

oui exactement selrespect,au cours de la résolution il va surgir la sommation donnant e.

je ne suis pas d'accord : l'inf est non nul, si on suppose qu'il y a un élément nul correspondant à un certain k entier, alors on aura : a.k! est entier relatif, donc a n'est pas irrationnel, absurde ...

hypermb a écrit:

je ne suis pas d'accord : l'inf est non nul, si on suppose qu'il y a un élément nul correspondant à un certain k entier, alors on aura : a.k! est entier relatif, donc a n'est pas irrationnel, absurde ...

l'inf n'est po forcément atteint !

oui, ca a l'air vrai, je crois qu'elle converge pour a=e vers 1
j'ai essayer sur le plan pratique avec des n grand (100000 )
pour a=pi ça donne : 57618.6332837173954942259
par contre pour a=e ça donne : 0.9999999999000010000199991000090004999733004130217982

Bon alors, je vais rédiger un peu proprement le sens facile.

Soit a un rationnel. Il existe donc p dans Z et q dans N* tel que l'on ait a= p/q. Il vient alors :

pour tout entier n>=q, a.n! qui est un entier relatif donc x_n est nul à partie du rang q et converge donc vers 0.

Supposons maintenant que a soit un irrationnel. On peut donc écrire a sous la forme d'une série convergente de rationnels :

il existe une suite (r_k)k dans Q tel que a=sum[r_k, k=0..+inf]

Remarquons une chose simple :
Si inf{an!} > 0 alors la suite x_n est minorée par une suite divergente et diverge donc.
En prenant la contraposée, cela signifie que si x_n converge, alors 0 est valeur d'adhérence de la suite {an!} et on doit avoir de plus : {an!} = O(1/n)

Bon bref, après cette remarque, je continue :

{an!} = {sum(r_k).n!}

Si je veux pouvoir exprimer de manière explicite cette suite, il faut qu'à partir d'un certain rang tout les termes de la somme soit inférieur à un. Prenons en particulier r_k = 1/k! ce qui semble naturel comme essai.
On a alors :
pour tout k=<n, n!/k! est un entier
pour tout k>n, n!/k! est >1
cela donne {sum(n!/k!)} = {1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + ....}

Par ailleurs on sait que sum(1/k!) = e et la formule de taylor avec reste intégrale donne que :
sum(1/k!, k=n+1...+inf) = int( e^t.(1-t)^n / n!, t=0..1)
Cela fournit un encadrement :
0=< sum(1/k!, k=n+1...+inf) =< e/n!

donc à partir d'un certain rang e/n! devient strictement inférieure à 1 et alors la partie fractionnaire donne :
{sum(n!/k!)} = {1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + ....}
=1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + ....
d'où il vient alors :

x_n = n/n+1 + n/(n+1)(n+2) +....

et x_n converge donc vers 1. arf c'est démontré. On voit que la même démonstration peut être adapté pour un nombre a de la forme a= sum(s/k!) = se et la suite convergera vers |s|

Enfin, on remarque que si a et b sont des valeurs pour lesquels la suite x_n converge, alors a+b aussi.

On a donc montré que Q+eZ est inclus dans l'ensemble des solutions (ce qui était le plus facile en fait...). Il reste à montrer que l'inclusion est ou pas une égalité mais je ne voit pas en quoi se serait une égalité.