Problème de Juillet 2006

Déterminer les valeurs de a et b telles que la quantité



soit minimale.

Si l'image n'apparait pas la quantité est :

Salut,
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Bonjour,

Solution postée.
Bonjour,

Il faut déterminer M(a,b) = max(|g(x)|) pour x dans [0,1]

avec :
g(x) = xln(x) -ax -b prolongée en -b en 0.
g'(x) = ln(x) - (a-1)
g(x) a donc un seul extrémum local en e^(a-1)

Donc :
Si e^(a-1) n'est pas dans [0,1], le maximum de |g(x)| sur [0,1] est soit
|g(0)|, soit |g(1)|
Si e^(a-1) est dans [0,1], le maximum de |g(x)| sur [0,1] est soit
|g(0)|, soit |g(1)|, soit |g(e^(a-1))|

Donc
si a >= 1 M(a,b) = max(|b|, |a+b|)
si a <= 1 M(a,b) = max(|b|, |a+b|, |b + e^(a-1)|)

Cela conduit à délimiter dans R^2 (espace des couples(a,b)) quatre zônes :

Zone Z1 :
a>=1 et b>=-a/2
M(a,b) = |a+b|
Le minimum de M(a,b) sur Z1 est M(1,-1/2) = 1/2

Zone Z2 :
a >= 1 et b <= -a/2
ou 1 >= a >= 0 et b <= -exp(a-1)/2
M(a,b) = |b|
Le minimum de M(a,b) sur Z2 est M(0,-1/(2e)) = 1/(2e)

Zone Z3 :
a <=0 et b <= -(a + exp(a-1))/2
M(a,b) = |a+b|
Le minimum de M(a,b) sur Z3 est M(0,-1/(2e)) = 1/(2e)

Zone Z4 :
a <= 1 et b >= -exp(a-1)/2 et b >= -(a + exp(a-1))/2
M(a,b) = |b + exp(a-1)|
Le minimum de M(a,b) sur Z4 est M(0,-1/(2e)) = 1/(2e)

La réponse est donc :
a = 0
b = -1/(2e)

--
Patrick

Bonjour;
Solution postée

Bonjour abdelbaki ;

je note Ma,b = max |xln(x)-ax-b|
[0,1]
il est facile de vérifier que,
Ma,b = exp(a) max |xln(x)-bexp(-a)|
[0,exp(-a)]
en s'aidant du graphe de la fonction x ----> xln(x) on constate aisément que,
Ma,b = max(|b|,|a+b|) si a >=1
Ma,b = max(|b|,|exp(a-1)+b|) si 0<=a <=1
Ma,b = max(||a+b,|exp(a-1)+b||) si a <=0
et ainsi on voit que,
Ma,b >= (|b|+|a+b|)/2 >= a/2 >= 1/2 si a >=1
Ma,b > = (|b|+|exp(a-1)+b|)/2 >= exp(a-1)/2 >=1/2e si 0<=a <=1
Ma,b >= (|exp(a-1)+b|+|a+b|)/2 >= (exp(a-1)-a)/2 >=1/2e si a<=0
et il est alors clair que pour tous réels a et b,
Ma,b >= M0,-1/2e = 1/2e
(Sauf erreurs bien entendu)

abdelbaki.attioui a écrit:

Déterminer les valeurs de a et b telles que la quantité



soit minimale.

j'ai un probleme : je ne peux pas voir l'exercice il ne s'affiche pas pouriez vous m'aidez je veux aussi participer a resoudre l'exercice de mois
plzz

salut mahdi
ben c ça l'exercice je pense

Déterminer les valeurs de a et b telles que la quantité

max{ |xln(x)-ax-b| / x€[0,1]}soit minimale.

merci

de rien