funequ

soit f une fonction dérivable de [0;1] dans [0;1] telle que : fof = f
trouver f sachant qu'il y a : a et b de [0;1] a#b tel que f(a) = a et f(b) =b

supposons : a<b
■f(t)=t si t £[a,b]
■f(t)£[a,b] si t est hors [a,b] ( c a d ,qu'on peut choisir n'importe quelle fct ayant l'image dans [a,b])
a+

selfrespect a écrit:

supposons : a<b
■f(t)=t si t £[a,b]
■f(t)£[a,b] si t est hors [a,b] ( c a d ,qu'on peut choisir n'importe quelle fct ayant l'image dans [a,b])a+

je ne pense pas

cela est dans le cas ou t£[0,a[u]b,1] en effet : f(t)£[a,b]==>f(f(t))=f(t) ( on a deja dit :f|[a,b]=Id [a,b]) mais biensur cette fct est C1 et f(a)=a et f(b)=b

il est claire que t£[a;b] f(t)=t

et on f est derivable donc f' est une fction contenue ou (takbal tamdid bi litisal en points {x1...xn} telque que ces point mahadodin)

telque 0<=x1<x2...<xi<a<b<xi+1...xn<=1

donc f' est contenue en ]xi;a] on f'(a)=1>0
donc il exsite m<(xi-a)
tel que que soit x£[a-m;a]=I f'(x)>=0 donc f croisant en [a-m;a]

suposont que il y x0£[a-m;a] f(x0)#x0

donc f(x0)>x0 ou f(x0)<x0 puisque f est croisant f(f(x0)>f(x0) ou f(f(x0)<f(x0) d'ou la contaradiction donc

que qoit x£IU[a;b] f(x)=x et on va reputer la meme operation jsqua arriver xi et on le repute sur les intervale de genre [xj;xj+1]

d'ou en deduit que f(x)=x pour tt x de [a;b]

justifie Mohamed le fait que f'(a) = 1

et il faut donner f pas simplement pour l'intervale [a;b] mais aussi pour son complément

Conan a écrit:

justifie Mohamed le fait que f'(a) =1

que soit t de [a,b] f(t)=t ==>f'(t)=1 donc f'(a)=1

Conan a écrit:

et il faut donner f pas simplement pour l'intervale [a;b] mais aussi pour son complément

j'ai deja montre que pour tt x de [0;1] que f(x)=x relier b1 mon post