problème N°36 de la semaine (03/07/2006-09/07/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

salut
solution postée
voici la solution d'eto
SALUT
f(tan(x)+2f(-tan(2x))=-sin(2x)
et
f(tan(x))+2f(tan(2x))=sin(2x)
==>3f(tan(x))=3sin(2x)
f(tan(x))=2tanx/1-tan^2(x)
donc f(x)=2x/(1-x^2)
parce que tan est bijectif de -pi/2.pi/2 vers R
(reciproquement 2x/(1-x^2) verifie la relation)

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'elhor_abdelali
Bonjour;
En posant t=tan(x) le problème revient à chercher toutes les fonctions réelles f de la variable numérique t telles que:
f(-t) + 2f(t) = 2t/(1+t²) (1)
condition nécéssaire:
il est clair qu'on a aussi ,
f(t) + 2f(-t) = -2t/(1+t²) (2)
en calculant 2 x (1) - (2) on obtient ,
3f(t)=6t/(1+t²) c'est à dire ,
f(t) = 2t/(1+t²)
condition suffisante:
il est facile de vérifier que la fonction f ainsi détérminée est bien solution de notre problème.
(Sauf erreurs bien entendu)

Bonsoir,
Solution postée

voici la solution de pco
Bonjour,

E1 : f(-tan(x)) + 2f(tan( x)) = sin(2x)
E2 : f( tan(x)) + 2f(tan(-x)) = -sin(2x)
2E1-E2 : f(tan(x)) = sin(2x)
Et donc : f(x) = 2x/(1+x^2) car tan(x) est bijective de ]-pi/2, pi/2[ dans R

On vérifie aisément que cette condition nécessaire est suffisante.

--
Patrick

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjopur
f(-tanx)+2f(tanx)=sin2x
f(tanx)+2f(-tanx)=-sin2x
-----------------------
==> 3f(tanx)+3f(-tanx)=0
==> f(-tanx)=-f(tanx)
==> f(tanx)=sin2x
comme tan est bijective de ]-pi/2,pi/2[ sur IR et sin2x==2tanx/(1+tan²x)
Alors, pour x=arctan(t) ( t€IR)
On a f(t)=2t/(1+t²)
A+
A+

solution postee
voici la solution de Kalm
en a : f(-tan(x))+2f(tan(x))=sin(2x) (1)
<=> f(-tan(-x))+2f(tan(-x))=sin(-2x)
<=> f(tan(x))+2f(-tan(x))= -sin(2x) (2)
donc: en fait la somme des cote de 1et 2
f(tan(x))= -f(-tan(x))
donc: f est impaire
donc: (1) <=> f(tan(x))=sin(2x)
en suppose que : x=arctan(y)
<=> f(y)=sin(2arctan(y))
donc : la fonction f est f(y)=sin(2arctan(y))

solution postèe
voici la solution de saiif3301
on a sin2x=2tanx/1+tanx² alors f(-tanx)+2f(tanx)=2tanx/1+tanx² et on a f(tanx)+2f(-tanx)=-2tanx/1+tanx² on fait la somme des deux èquation et on trouve ke f(-tanx)+f(tanx)+2f(tanx)+2f(-2tanx)=0 et sa donne f(-tanx)=f(tanx) alors 2f(tanx)-f(tanx)=2tanx/1+tanx² alors
f(tanx)=2tanx/1+tanx² et on pose tanx=X
alors f(X)=2X/1+X² .

Salam,
Solution postée
voici la solution de GOOOOD
Salam...

Notons tout d'abord que sin(2x)=2tan(x)/(1+tan(x)²).
On a donc : f(-x)+2f(x)=2x/(1+x²) ou encore f(x)+2f(-x)=-2x/(1+x²)
Ce qui fait que : f(x)=2x/(1+x²).

Je suis peut-être passé par quelqu'implication mais je ne pense pas qu'il y aurait d'autres solutions...
Meilleurs voeux à tous les matheux (surtout les nouveaux bacheliers )

--
Sir Ahmed.

Salut
réponse postée.

lotfi a écrit:

Salut
réponse postée.

la semaine N°36 est terminée
j'ai eu ta réponse mais tu n'as pas ecris au forum ""solution postée""

Bonjour
en tout cas merci.
mais comment peut on faire pour savoir si ntre réponse est juste?