Fonction cos2x

Bonjour,
voici un ptit exos d'entrainement que jveux faire :

Soit f la fonction définie sur |R par f --> cos2x
On appelle Cf la courbe réprésentative de la fonction f dans un repére orthogonal (O,i,j) d'unités graphique : 2cm pour /4 en abscisses et 2 cm pour 1 en ordonnées.

1) Etudier la parité de la fonction f.
2) Montrer que f est périodique de période
3) Montrer que la courbe Cf admet le point A( /4;0) comme centre de symétrie.
4) Justifier qu'il suffit d'étudier les variations de f sur [0, /4] pour connaitre les variations de f sur |R.
5) Etudier les variation de f sur [0; /4]
6) Dresser un tableau de variation de f sur [- 3,14: /2; /2]
7) a) Résoudre dans [- /2; /2] l'équation f(x)=0
b) Interpréter graphiquement le résultat.
a) Résoudre dans [- /2; /2] l'inéquation f(x) (V2)/2
b) Interpréter graphiquement le résultat

1)f(-x)= cos(-2x)=cos(2x)=f(x)
donc f est paire

2) pour tout x € R, f(x+pi)=f(x)
donc f(x+pi)= cos(2(x+pi))= cos(2x+2pi) = cos2x=f(x)
donc f est bien périodique de période pi.

3)Le point A(pi/4,0) est centre de symétrie si et seulement si pour tout x de Df
{2a-x € Df
{f(2a-x)= 2b-f(x)
donc f(pi/2-x)-f(x)=0
f(pi/2-x) - cos2x = 0
or f(pi/2-x) = cos2x donc
cos2x - cos2x = 0
donc le point le A est bien un centre de symétrie de Cf.

4) La fonction f étant paire et donc périodique de période pi, il nous suffit d'étudier les variations sur [0;pi/4] car les variations se répéterons.

5) A l'aide !!!
6) A l'aide !!!
7) A l'aide !!!
A l'aide !!!

lol
merci !

salut,

Pour la 5, d'après le cours, x-->cos(x) est croissnate sur [0,Pi/2] donc x-->cos(2x) est croissante sur [0,Pi/4]

Pour la 6, ce n'est pas très dur, courage !!

Pour la 7, il faut résoudre cos(2x)=0
Or, cos(Pi/2)=0 donc il faut résoudre cos(2x)=cos(Pi/2)

Cela nous donne donc d'après le cours :

2x=Pi/2+2kPi ou 2x=-Pi/2+2Pik' avec k et k' dans Z.
On a donc x=Pi/4+kPi ou x=-Pi/4+k'Pi
Comme la résolution se fait dans [-Pi/2,Pi/2], on en déduit que k=0 et que la solution est x=Pi/4 ou x=-Pi/4

Pour résoudre cos(2x)=(V2)/2, remarque que cos(Pi/4)=(V2)/2 et fais le même raisonnement que je t'ai montré.

Thomas