Exercice

Soit ABC un triangle et soient P, Q, R trois points situés respectivement sur [BC], [CA], [AB]. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles AQR, BRP et CPQ ont un point commun.

mhdi a écrit:

Soit ABC un triangle et soient P, Q, R trois points situés respectivement sur [BC], [CA], [AB]. Montrer que les cercles circonscrits aux triangles AQR, BRP et CPQ ont un point commun.

Salut !

prenons H le point d'intersection des deux cercles circonscrits aux triangles BPR et PCQ et different de P,

on doit montrer H appartient au cercle circonscrit au triangle ARQ,ou aussi que les points A,R,H,Q sont cocycliques,

puisce que R,H,P,B sont cocycliques alors on a:

(*) RHP+ABC=180, ( on travaille avec les angles )

puisce que Q,H,P,C sont cocycliques alors on a:

(**) PHQ+ACB=180,

de (*) et (**) on a:

RHP+PHQ+ABC+ACB=360;

=>360-RHQ+ABC+ACB=360,

=>RHQ=ABC+ACB=180-BAC,

=>RHQ+BAC=180,

alors les points A,R,H,Q sont cocycliques,

alors le cercle circonscrit au triangle ARQ passe aussi de H,

donc les cercles circonscrits aux triangles AQR, BRP et CPQ ont un point commun.