théorème des valeurs intermédiaires.

Bonjour, il est bien connu qu'une fonction continue de R dans R vérifie le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I). La question est :

1) Donner un exemple pour montrer que la réciproque est fausse.

2) Montrer que si on suppose $f$ vérifie T.V.I. et pour tout réel $y$, l'image réciproque par $f$ du singleton {y} est fermée, alors $f$ est continue
A+

Sympa comme caractérisation des fonctions continues


1) Un truc simple : f(x) = sin(1/x) f(0)=0

Au passage on peut remarquer que f^-1(a) pour a != 0 et |a|<=1 n'est pas un fermé .....


2) Sans dessin ça va être dur ...

Supposons que f ne soit pas continue en a. On prend x(n) -> a tq |f(x(n))-f(a)|> eps.
Quitte à extraire un suite de u(n) on peut supposer que tous les f(u(n)) sont du même côté de f(a), par exemple f(u(n)) < f(a)-eps.
On prend y entre f(a) et f(a)-eps.
D'après le TVI, y=f(b) et on peut trouver une suite v(n) tq f(v(n)) = f(b) et |v(n)-a| <= |u(n)-a|.
On a alors une incohérence ave le fait que f^-1({y}) est un fermé vu que f(v(n)) = f(b) mais f(lim v(n)) = f(a) != f(b)

Bonsoir tµtµ merci d'avoir répondu. Voici une autre démo.
Soit a dans IR. On va montrer, en utilisant la définition, que f est continue en a.
Soit eps > 0 , f(a) n'est pas dans {f(a)-eps, f(a)+eps}, par hypothèse il existe eta>0 tel que f (]a-eta , a+eta[ ) ne rencontre pas {f(a)-eps, f(a)+eps}. Le T.V.I donne que f (]a-eta , a+eta[ ) est un intervalle. Comme il contient f(a) et il ne contient ni f(a)-eps ni f(a)+eps alors f (]a-eta , a+eta[ ) est contenu dans ]f(a)-eps,f(a)+eps[.

A+