Carathéodory

Une fonction f : I -->IR définie sur un intervalle I de IR est appelée
différentiable au sens de Carathéodory au point a€I ssi il existe une
fonction h:I --> IR continue en a et vérifie:
f(x)=f(a)+h(x)(x-a).
Démontrer que cette définition est équivalente à la définition usuelle de la dérivabilité.

f différentiable au sens de Carathéodory => lim(f(x)-f(a)/(x-a)) existe et vaut limh(x) = h(a) quand x tend vers a.

Si f est dérivable, alors f(x)-f(a)/(x-a) = f'(a) + e(x) avec lime(x)=0 quand x tend vers a

Posons h(x) = f'(a) + e(x) et h et continue en a.