point fixe

c trs clair: par absurde

Bonjour,
On peut aussi le faire sans l'absurde :

On a : entre 0 et 1
int f = 1/2 donc int(f(t)-t)dt = 0
f - id est continue sur [0,1] donc il existe a appartenant à [0,1] tel que f(a) - a = int (f(t)-t)dt = 0

oui

On montre de la même façon que :

Si f:[0,1]->IR est continue sur [0,1] telle que int_[0,1] f = 1/n avec n>=1, alors il existe a de [0,1] tel que f(a) = a^(n-1).

On montre de la même façon que :

Si f:[0,1]->IR est continue sur [0,1] telle que int_[0,1] f = A avec n>=1, alors il existe a de [0,1] tel que f(a) = g(a) (avec int_[0,1] g =A)

pour A=1/2 on a pris g(x)=x
pour A=1/n on a pris g(x)=x^{n-1}