équation fonctionnelle

trouver toutes les fonctions continues définie de IR dans IR telles que:

Clairement f est C2:
derivation/dx² -->f"(x)f(y)+f"(x+y)=-f(x)f(y)-f(x+y)*
pour x=y=o on a :f(o) est soit zero soit 1
>si f(O)=o alors f est identiquement nulle
>si f(o)=O alors , prenons y=1 dans * ==> f"(x)+f(x)=O , c'est une equation diff dont les sols sont connues ..;

Tu veux dire prendre y = 0 dans *


Je finis juste. La fonction nulle n'est pas solution du problème (faut kan même vérifier les réciproque de nos raisonnement.

On a f(x) = Acosx + Bsinx et f(0) = 1 donne f(x) = cos(x) + Bsinx

On réinjecte dasn l'équation de départ et on voit en simplifiant que :

B²sinxsiny = 0 ie B=0

Conclusion f(x) = cosx est l'unique solution

pelikano a écrit:

Tu veux dire prendre y = 0 dans *


Je finis juste. La fonction nulle n'est pas solution du problème (faut kan même vérifier les réciproque de nos raisonnement.

On a f(x) = Acosx + Bsinx et f(0) = 1 donne f(x) = cos(x) + Bsinx

On réinjecte dasn l'équation de départ et on voit en simplifiant que :

B²sinxsiny = 0 ie B=0

Conclusion f(x) = cosx est l'unique solution

oui la fct nulle ne convient pas mais j'ai po encore fini le rais c pr cela je n'ai po declaré les fct sol , Ok merçi

je vais donner une solution où n'intervient pas la dérivabilité.

y=0 ==>f(x)(f(0)-1)=0 or f n'est pas identiquement nulle

donc f(0)=1.

x=-Pi/2,y=Pi/2 ==> f(-Pi/2)*f(Pi/2)=0 (*)

x=-Pi/2 et x=Pi ==> f(-Pi/2)f(Pi)=f(Pi/2) (*)

combinaisons les deux (*) et (**) ==> f(Pi/2)=0.

posons mantenant:

y=Pi/2 ==> -f(x+Pi/2)=sin(x) ==> f(x)=-sin(x-Pi/2)=cos(x)

pour tout x de IR.

réciproquement cette fonction vérifie bien l'équation.

joli

Pas mal

deux belles méthodes,bravo!!!