de profond someil !

Soit a,b,c,d >0 tel que abc = 1

Montrer que : Sigma_(Cyc)(a^4+a^3+a²+1) >= Sigma_(Sym)(a²b) +Sigma_(Sym)( ab)

ça voudrais dire :

a^4+b^4+c^4+a^3+b^3+c^3+a²+b²+c²+3 >= 2(ab+bc+ca) + a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²

c'est quoi (cyc) et (sym)???

mathema a écrit:

c'est quoi (cyc) et (sym)???

Cyclique et Symétrique

salut
d après l inégalité de schur on a
(1)a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)
(2)et a²+b²+c²>=ab+ac+bc
sachant que abc=1==>a+b+c>=3
et d après cauchy : a^4+b^4+c^4>=1/3(a²+b²+c²)²
on a:a²+b²+c²>=3donc (3) a^4+b^4+c^4 >=(a²+b²+c²)²/3>=a²+b²+c²>=ab+ac+bc
en sommant (1);(2) et (3) on obtient l inégalité voulue