really ugly

trouver toutes les fonctions continues f:]0,+infini,[-->]0,+infini[, telles que: pour tout et strictement positifs.

I just found one function:
f(x)= x+ 1/x

demo ?

quelques idées:

pour x=y=1 on obtient f(1)²=2f(1),ainsi f(1)=2 car f(x)>0

pour tout x de IR.

pour x=y on obtient f(x)²=f(x²)+2 (*),d'où f(x)>V(2),soit

encore une fois f(x)>V(2+V(2)),on obtient donc une suite

U_(n+1)=V(2+U_n) dont la limte est 2,d'où f(x)>=2.

substituons x par x² et y par y² on obtient tout en tenant

compte (*) f(xy)f(x/y)+4=f(x)²+f(y)²,soit

f(x)²+f(y)²+f(xy)²=4+f(x)f(y)f(xy).

comme j'ai déja signalé dans un exercice précédent,pour tout

x>=2 on peut trouver a>=1 tel que x=a+1/a,ce qui donne

ainsi l'éxistence de g telle que f(x)=g(x)+1/g(x) avec g(x)

>1.en remplaçant dans l'équation on arrive à g(x)g(y)=g(xy).

Or on connait les solutions de cett dernière équation qui sont

de la forme g(x)=x^k pour un certain k.

En somme f(x)=x^k+1/x^k,Réciproquement ça vérifie

l'équation.

je pense que c'est la démonstration de exodian mais peut

étre il a oublié d'ajouter k.

Merci Radouane.

boukharfane radouane a écrit:

pour bien commprendre pourquoi les solutions de g(xy)=g(x)g(y) sont g(x)x^k,je le laisse comme titre d'exercice?

La plus simple serait de projeter l'équation fonctionnelle de cauchy sur (IR+*,x). A vous de construire l'isomorphisme!!

malek akhouya mehdi tu compliques les choses,tu ne rappelles pas bien notre professeur de FRANCAIS qui ne cessait de dire que les choses les plus simples sont les plus belles (c'est un cauchemar non!!!)

Mais elle dit aussi, travailler sur la difficulté vaut mieux que de donner des ds faciles!!!

alors t'as oublié qu'il faut poursuivre un chemain allant du moins évident au plus plus compliqué!

boukharfane radouane a écrit:

quelques idées:

pour x=y=1 on obtient f(1)²=2f(1),ainsi f(1)=2 car f(x)>0

pour tout x de IR.

pour x=y on obtient f(x)²=f(x²)+2 (*),d'où f(x)>V(2),soit

encore une fois f(x)>V(2+V(2)),on obtient donc une suite

U_(n+1)=V(2+U_n) dont la limte est 2,d'où f(x)>=2.

substituons x par x² et y par y² on obtient tout en tenant

compte (*) f(xy)f(x/y)+4=f(x)²+f(y)²,soit

f(x)²+f(y)²+f(xy)²=4+f(x)f(y)f(xy).

comme j'ai déja signalé dans un exercice précédent,pour tout

x>=2 on peut trouver a>=1 tel que x=a+1/a,ce qui donne

ainsi l'éxistence de g telle que f(x)=g(x)+1/g(x) avec g(x)

>1.en remplaçant dans l'équation on arrive à g(x)g(y)=g(xy).

Or on connait les solutions de cett dernière équation qui sont

de la forme g(x)=x^k pour un certain k.

En somme f(x)=x^k+1/x^k,Réciproquement ça vérifie

l'équation.

je pense que c'est la démonstration de exodian mais peut

étre il a oublié d'ajouter k.

Substituons x par xy et y par x/y.

loooooooooooooooool