(x,y)

Trouver tous les couples d'entiers (x,y) tels que le nombre x²+y² divise x^3+y ety^3+x

- notons d=x^y et x=d*a et y=d*b ===> d²/x^3+y
==>d/d²a^3+b ==>d/b==>d²/db=>d²/y
et
d²/y^3+x===>d²/x donc d=1

(x²+y²)/(x^3+y^3+x+y)==>(x²+y²)/((x+y)(x²+y²-xy+1))

suponsons c/(x²+y²) et c/(x+y)==>c/(x²+y²) et c/(x²+y²+2xy)

c/2xy (puisque c/(x²+y²)==> c^x=c^y=1) ==> c=1;2

-si c=1 ==> x²+y²^x+y=1 ==>x²+y²/(x²+y²-xy+1)

x²+y²/(-xy+1) puisque x²+y²>=2/xy/

xy=-1 ou xy=1 ou (x=0 et y=1 ou x=1 et y=0)

-si c=2 ===> la meme methode et on trv

x²+y²/(-2xy+2) ===> /-2xy+2/>=x²+y²>=2/xy/ ou xy=-1

on suppose que xy>0 ==> 2xy-2>=x²+y²>=2xy (ce qui est imposible)

donc xy<=0 ==> -2xy+2>=x²+y²>=-2xy

donc x²+y²=-2xy ou x²+y²=-2xy+1 ou x²+y²=-2xy+2

==> x=-y ou x+y=-+1 ou [ (x+y)²=2 impossible ]
==>x=-y=-ou+1 (car x^y=1)
et pour x+y=-+1 ===> x²+y² impaire ce qui est contradictoire avec c=2

mohamed_01_01 a écrit:

- notons d=x^y et x=d*a et y=d*b ===> d²/x^3+y
==>d/d²a^3+b ==>d/b==>d²/db=>d²/y
et
d²/y^3+x===>d²/x donc d=1

(x²+y²)/(x^3+y^3+x+y)==>(x²+y²)/((x+y)(x²+y²+xy+1))

suponsons c/(x²+y²) et c/(x+y)==>c/(x²+y²) et c/(x²+y²+2xy)

c/2xy (puisque c/(x²+y²)==> c^x=c^y=1) ==> c=1;2

-si c=1 ==> x²+y²^x+y=1 ==>x²+y²/(x²+y²+xy+1)

x²+y²/(xy+1) puisque x²+y²>=2/xy/

xy=-1 ou xy=1 ou (x=0 et y=1 ou x=1 et y=0)

-si c=2 ===> la meme methode et on trv

x²+y²/(2xy+2) ===> /2xy+2/>=x²+y²>=2/xy/ ou xy=-1

on suppose que xy<0 ==> -2xy-2>=x²+y²>=-2xy (ce qui est imposible)

donc xy>=0 ==> 2xy+2>=x²+y²>=2xy

donc x²+y²=2xy ou x²+y²=2xy+1 ou x²+y²=2xy+2

==> x=y ou x-y=-+1 ou [ (x-y)²=2 impossible ]
==>x=y=1 (car x^y=1)
et pour x-y=-+1 ===> x²+y² impaire ce qui est contradictoire avec c=2

slt khoya mohamed.
je ne suis pas d'accors avec ce qui est en gras (donc le reste...fchek).

pour la 1ere mnt il est reglé

pour c/2xy (puisque c/(x²+y²)==> c^x=c^y=1) ==> c=1;2

x^y=1 ==> x²^y=x^y²=1 ==>(x²+y²)^y=1 (en utilisant cette formule a^b=a^(b+ac) ==>c^y=1

et x^x²+y²=1===> c^x=1
c'est claire mnt

g trouvè les memes solution que les tiens.voici ma demo:
Posant x=da et y=db /a^b=1
x²+y²/x^3+y et x²+y²/y^3+x <=> d(a²+b²)/d^2a^3+b et d(a²+b²)/d²b^3+a
Donc d=1 en remplacon on aura :
a²+b²/a^3+b et a²+b²/b^3+a <=>a²+b²/a^3b+b² et a²+b²/b^3a+a² ((a²+b²)est premier
Avec a et b)
Donc a²+b²/a^3b-a² et a²+b²/ba^3-b²<=>a²+b²/a²(ab-1) et a²+b²/b²(ab-1)
=>a²+b²/ab-1 =>a²+b²divise /ab/-1 ou a²+b²divise /ab/+1
et puisque a²+b²>=2/ab/>/ab/-1 donc /ab/=1
et puisque aussi a²+b²>=2/ab/ et a²+b²divise /ab/+1
==>/ab/<=1
donc ab=0 ou /ab/=1 ==>xy=0 ou /xy/=1

ouths a écrit:

g trouvè les memes solution que les tiens.voici ma demo:
Posant x=da et y=db /a^b=1
x²+y²/x^3+y et x²+y²/y^3+x <=> d(a²+b²)/d^2a^3+b et d(a²+b²)/d²b^3+a
Donc d=1 en remplacon on aura :
a²+b²/a^3+b et a²+b²/b^3+a <=>a²+b²/a^3b+b² et a²+b²/b^3a+a² ((a²+b²)est premier
Avec a et b)
Donc a²+b²/a^3b-a² et a²+b²/ba^3-b²<=>a²+b²/a²(ab-1) et a²+b²/b²(ab-1)
=>a²+b²/ab-1 =>a²+b²divise /ab/-1 ou a²+b²divise /ab/+1
en sommant on aura : a²+b²divise 2/ab/=> a²+b²<=/ab/ ou /ab/=0
=> /a/=/b/ ou a=b=0
et puisque on à :a^b=1
donc /a/=/b/=1 ou a=b=0 ==> /x/=/y/=1 ou x=y=0

tu n'apas le droit de sommer car tu as "ou" n'est pas "et"(faute de logique)


-et d'ou tu as cette resultat a²+b²/a^3b-a²

por le 1 ere il est reglè.
pour a²+b²/a^3b-a²
on à a²+b²/a^3+b<=>a²+b²/b(a^3+b)<=>a²+b²/ba^3+b²
<=>a²+b²/ba^3+b²-(a²+b²)
d'ou a²+b²/a^3b-a²
c clair mnt

car (a²+b²)^b=1 facile à demontrer.

ok mnt , c'est juste et c'est presque la meme demonstration que j'avais fait