السلام عليكم
on sait que pgcd(n;m).ppcm(n,m)=n.m
posons alors D_1 =pgcd(a;a+5) et D_2 = pgcd(b,b+5) et M= ppcm(a,a+5)=ppcm(b,b+5) .
D_1\a ,et D_1\ a+5 ==>D_1\5 <==> D_1 € {1,5}
D_2\b , et D_2\b+5 ==> D_2\5 <==> D_2€ {1,5}
--- Si D_1 = D_2 on a :
M.D_1 =a(a+5) et M.D_2 =b(b+5)
donc a(a+5)=b(b+5) ===> a=b ( pour la démontrer , on peut se contenter de démontrer sa contraposée )
---Si D_1 est différent de D_2
on a deux cas à étudier :
*** D_1 =1 et D_2=5
D_2=5 ==> b=5k
donc [ M=a(a+5) , 5M=b(b+5)]==> [M=a(a+5),5M=5k(5k+5)] ==> a(a+5)=k(5k+5) ==> a(a+5)=5k(k+1) ==> 5\a ( ce qui n'est pas vrai , car D_1=1)
*** pour l'autre cas à savoir : D_1=5 , D_2=1 on peut pratiquement procéder de la même manière
donc D_1 ne peut pas être différent de D_2 , par conséquent on a : a=b
Ps : " \ = divise "
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