(a(1-2a))^(1/2) + (b(1-2b))^(1/2) > (c(1-2c))^(1/2)

Modérateur Nombre de messages : 967 Age : 35 Date d'inscription : 31/10/2005

Soient a, b et c des nombres réels avec 0 < a, b, c < 1/2 et a+b+c=1.
Montrer que : $(a(1-2a))^(1/2) + (b(1-2b))^(1/2) > (c(1-2c))^(1/2) 56509fbaf999d0658e887252874196ef$

Maître Nombre de messages : 92 Age : 36 Date d'inscription : 15/06/2006

soit la fonction $(a(1-2a))^(1/2) + (b(1-2b))^(1/2) > (c(1-2c))^(1/2) Af436ed8c3ed201cc46383d837202d8d$
f est convexe donc
$(a(1-2a))^(1/2) + (b(1-2b))^(1/2) > (c(1-2c))^(1/2) F96b8a647b2798f062995032a31cea64$

Expert sup Nombre de messages : 678 Date d'inscription : 06/06/2006

Bonjour,

Je crains que tu aies fait une erreur :

f(x) = (x - 2x^2)^(1/2) avec x dans ]0, 1/2[
f'(x) = (1 - 4x) (x - 2x^2)^(-1/2) / 2
f''(x) = (-4(x - 2x^2)^(-1/2) - (1/2) (1 - 4x)^2(x - 2x^2)^(-3/2))/2
f''(x) = (-4(x - 2x^2) - (1/2) (1 - 4x)^2) (x - 2x^2)^(-3/2)/2 <= 0

Donc f est concave, et non convexe.

et en particulier f(a) + f(b) <= 2f((a+b)/2)

--
Patrick

Bonjour;
Notons X²=a(1-2a) , Y²=b(1-2b) et Z²=c(1-2c)
un calcul facile montre que
X²+Y²=Z²+(1-2a)(1-2b)>Z²
on a donc Racine(X²+Y²)>|Z|
et comme |X|+|Y|>Racine(X²+Y²) on conclut farao

(sauf erreur bien entendu)

Expert sup Nombre de messages : 678 Date d'inscription : 06/06/2006

Ah oui, simple et rapide !
Bravo!

--
patrick