3(a^3+b^3+c^3) + 10(ab+bc+ca) >= 16.

Si a+b+c = 2, alors montrer que :
3(a^3+b^3+c^3) + 10(ab+bc+ca) >= 16.

Si a+b+c = 2, alors montrer que :



Comme ca c'est plus clair

Bonjour;
Je pense que les réels a , b et c sont positifs car sinon avec a=2 et b et c opposés on trouve : 24-10b²>=16
Sauf erreur bien entendu

positifs ?? c vrai?

Supposons maintenant que les réels a , b et c sont positifs
vu que 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²) on doit montrer que
3(a3+b3+c3)+5(4-a²-b²-c²)>=16 c'est à dire
3(a3+b3+c3)-5(a²+b²+c²)+4>=0 ou encore
3(a3+b3+c3)-5(a²+b²+c²)+2(a+b+c)>=0 ou encore
af(a)+bf(b)+cf(c)>=0 où f(x)=3x²-5x+2
(Remarquer que f(x)>=0 pour x>=2/3)
(*)la convexité de f donne af(a)+bf(b)+cf(c)>=2f((a²+b²+c²)/2)
(*)l'inégalité de cauchy schwartz donne 4=(a+b+c)²<=3(a²+b²+c²)
c'est à dire que a²+b²+c²>=4/3 (sauf erreur bien entendu)