venant d'ici...

Soit z un complexe et solution de l'equation z^3 + pz+q=0
montrer que |z|=< max(1 ;|p|+|q|)

Salut ;
p et q appartiennent à quel ensemble .

je pense que l'absurde peut marcher dans cet exercice .
(supposer min(1,|p|+|q|)<|z| , puis dénicher une contradiction ).

badr j'attends que tu développes un peu plus ton idée car elle est pas claire tu as essayé ?

Salut stifler ;
je ne suis pas apte de développer cet exercice , car j'ai pas encore étudié les nombres complexes .
j'ai juste donné une idée que j'avais en tête , car j'ai déjà fait un exercice en première du même genre en ayant recours à l'absurde .

callo a écrit:

Soit z un complexe et solution de l'equation z^3 + pz+q=0
montrer que |z|=< max(1 ;|p|+|q|)

BJR à Toutes et Tous !!
BJR callo !!
Alors tu t'habitues à ta nouvelle vie parisienne ?? Bonne Chance encore dans ta Prépa !!!
Ton Exo me rappelle le résultat suivant que je vais énoncer puis démontrer :
Soit P(X)=an.X^n + a(n-1).X^(n-1) +.......+a1.X+ao un polynôme de
C[X] et de degré n ( le coefficient an<>0 )
On note ||P||=|an|+|a(n-1)|+....+|a1|+|ao|
C'est une NORME sur C[X]
Pour toute racine z de P(X) on a |z| <={||P||}/|an|

Si on l'applique à ton Exo , celà donnerait donc que :
|z|<={1+|p|+|q|}<=2.Max{1;|p|+|q|}
Et alors , j’obtiens en fait une majoration de |z| moins précise que celle que tu proposes !!!
Puisque Max{1;|p|+|q|}<=|{1+|p|+|q|}<=2.Max{1;|p|+|q|}

Oeil_de_Lynx a écrit:

...Ton Exo me rappelle le résultat suivant que je vais démontrer :
Soit P(X)=an.X^n + a(n-1).X^(n-1) +.......+a1.X+ao un polynôme de
C[X] et de degré n ( le coefficient an<>0 )
On note ||P||=|an|+|a(n-1)|+....+|a1|+|ao|
C'est une NORME sur C[X]
Pour toute racine z de P(X) on a |z| <={||P||}/|an|

PREUVE : Comme |an|<=||P|| alors la relation est triviale si |z|<=1 puisque :
|an|.|z|<=|an| <=||P||
Supposons maintenant |z|>1 alors de l'égalité :
an.z^n=-{a(n-1).z^(n-1) +.......+a1.z+ao}
On en déduit que :
|an|.|z|^n <={SIGMA{i=0 à n-1; |ai|}.|z|^(n-1)<=||P||.|z|^(n-1)
d’où |z|<={||P||}/|an|

callo a écrit:

Soit z un complexe et solution de l'equation z^3 + pz+q=0
montrer que |z|=< max(1 ;|p|+|q|)

Il ne faut jamais baisser les bras !!
Je m'en vais essayer une démo personnalisée pour cet Exo !

Noter que si z est nul , la majoration est évidente !
Autrement :
1) Si |z|<=1 alors , on peut écrire :
|z|<=|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<=|p|+|q|
Ainsi |z|<=Max{1;|p|+|q|} on a même mieux ici |z|<=Min{1;|p|+|q|}
2) Si |z|>1 alors :
|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<={|p|+|q|}.|z|
D'ou |z|^2<={|p|+|q|} qui peut s'écrire aussi`|z|<={|p|+|q|}/|z|
Comme |z|>1 alors 1/|z| <1 et par suite |z|<{|p|+|q|}
Par conséquent 1<|z|<{|p|+|q|}
On a alors Max{1;|p|+|q|}={|p|+|q|} et de ce fait là
|z|<=Max{1;|p|+|q|}

Ce qui termine la démonstration !!!

Citation :

Ton Exo me rappelle le résultat suivant que je vais énoncer puis démontrer :
Soit P(X)=an.X^n + a(n-1).X^(n-1) +.......+a1.X+ao un polynôme de
C[X] et de degré n ( le coefficient an<>0 )
On note ||P||=|an|+|a(n-1)|+....+|a1|+|ao|
C'est une NORME sur C[X]
Pour toute racine z de P(X) on a |z| <={||P||}/|an|

ce résultat a un nom??!! Merci d'avance

BSR stifler !!
Ce résultat technique qui sert ne porte pas de nom particulier !!!
C'est tout de même un résultat intéressant qui permet de LOCALISER les racines complexes d'un polynôme .
Je l'ai trouvé dans un texte de DM de Prépas !!
Je l'ai uploadé , si tu désires le voir , voici le Lien :
http://www.zshare.net/download/1860391955d8af48/

Bonne Découverte !!!

PS : an<>0 veut dire an DIFFERENT de ZERO !!!!!!!!!

merci et pour la démonsration peux l'as tu sur maths type car je ne comprends pas tout se que tu as écrit ^^ sur le sujet certaine chose comle llPll (double module??)

BSR stifler !!
Le symbole ||.|| désigne souvent une NORME dans un Espace Vectoriel Normé E .
Ici E=C[X]
Sur C on a une norme c'est ||z||=|z| = Module de z .
Sur IR , ||x||=|x|= Valeur Absolue de x est une norme .
Tu verras celà un peu plus tard !! Patience donc ....
Chaque chose vient en son temps !!!

merci a toi mon ami

mon professeur de mathématique ma proposer une méthode plus élégante
que voici :

raisonnons par cas de disjonction :

*Si max(1;|p|+|q|)=|p|+|q|
si |z| 1 |z| max(1;|p|+|q|)
si |z| on a z^3+pz+q=0
donc |z^3|=|pz+q| |p||z|+|q|
|z| |p|/|z|+|q|/|z|² |p|+|q|

*Si max(1;|p|+|q|)=1
Si |z| |p|+|q| |z| max(1;|p|+|q|)
Si |z| |p|+|q| |z|-|p||q|
|z+p| |q|
On a : |z||z²+p|=|q|
Supposant que |z|1 |z²||z|
donc |z²|-|p| |q|
|z²+p||q|
|z||z²+p||q| [ABSURDE]
donc |z|1 (Double Résultat)

stifler a écrit:

....mon professeur de mathématique ma proposer une méthode plus élégante ...........

BSR stifler !!

Oeil_de_Lynx a écrit:

Il ne faut jamais baisser les bras !!
Je m'en vais essayer une démo personnalisée pour cet Exo !

Noter que si z est nul , la majoration est évidente !
Autrement :
1) Si |z|<=1 alors , on peut écrire :
|z|<=|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<=|p|+|q|
Ainsi |z|<=Max{1;|p|+|q|} on a même mieux ici |z|<=Min{1;|p|+|q|}
2) Si |z|>1 alors :
|z|^3=|-(pz+q)|<=|p|.|z|+|q|<={|p|+|q|}.|z|
D'ou |z|^2<={|p|+|q|} qui peut s'écrire aussi`|z|<={|p|+|q|}/|z|
Comme |z|>1 alors 1/|z| <1 et par suite |z|<{|p|+|q|}
Par conséquent 1<|z|<{|p|+|q|}
On a alors Max{1;|p|+|q|}={|p|+|q|} et de ce fait là
|z|<=Max{1;|p|+|q|}

Ce qui termine la démonstration !!!

Ma démo est directe donc plus simple !!
Je n'ai jamais prétendu que ma démo était élégante ou pas !!!
Je trouve par contre celle de ton Prof un peu alambiquée ; il est inutile ici de faire un quelconque raisonnement par l'absurde quand on peut faire SIMPLE !!
C'est une question de goût !!!!

Salut stifler !!
Ne tkt pas !!
Celà m'arrive assez souvent sur ce Forum !
Je commence à m'habituer !!
Bonne Rupture du Jeûne !!

merci a toi aussi !

sa n'est vraiment pas dans mes habitudes se genre de chose je me sens très mal crois moi !

BSR stifler !!!
Je conçois tout à fait que tu sois mal à l'aise mais je t'ai dit que celà n'a R1 de grave et c'est oublié !!
Il y a juste un moment , je te disais que ce genre de choses m'arrivait assez souvent sur le Forum !!! Je commence à m'y habituer , on ne peut pas être apprécié par tout le monde !!!
Vas voir ici , il y en a une de toute fraiche ( 12/09/2008 à 20H 33 Heure du Serveur ):

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/suite-t9594.htm#81958
J'appelle celà un pétard mouillé !!

Celà dit , je suis toujours critique avec moi-même et je ne suis pas quelqu'un d' ARROGANT !!
C'est en fait l' ARROGANCE que je déteste le plus !!!

PS : il y a des fois ou je me demande qu'est-ce-que je viens faire sur MathsMaroc ??????????????????????

Oeil_de_Lynx a écrit:

callo a écrit:

Soit z un complexe et solution de l'equation z^3 + pz+q=0
montrer que |z|=< max(1 ;|p|+|q|)

BJR à Toutes et Tous !!
BJR callo !!
Alors tu t'habitues à ta nouvelle vie parisienne ?? Bonne Chance encore dans ta Prépa !!!Ton Exo me rappelle le résultat suivant que je vais énoncer puis démontrer :
Soit P(X)=an.X^n + a(n-1).X^(n-1) +.......+a1.X+ao un polynôme de
C[X] et de degré n ( le coefficient an<>0 )
On note ||P||=|an|+|a(n-1)|+....+|a1|+|ao|
C'est une NORME sur C[X]
Pour toute racine z de P(X) on a |z| <={||P||}/|an|

Si on l'applique à ton Exo , celà donnerait donc que :
|z|<={1+|p|+|q|}<=2.Max{1;|p|+|q|}
Et alors , j’obtiens en fait une majoration de |z| moins précise que celle que tu proposes !!!
Puisque Max{1;|p|+|q|}<=|{1+|p|+|q|}<=2.Max{1;|p|+|q|}

Salut à vous tous
ahlane mr lhassan !!
je m'habitue un peu ...meme si c un dur ac le ramadan et la vitesse du déroulement des cours..
merci et ciao