lim

soit: f_n (x) = (1-x²)^n /(1-x)(1-x²)...(1-x^n) , n appartenant a N*
-trouver selon la parité de n : lim(1) (1-x²)/(1-x^n)
-pouver que : lim(-1) f_n(x)= 0

perly a écrit:

soit: f_n (x) = (1-x²)^n /(1-x)(1-x²)...(1-x^n) , n appartenant a N*
-trouver selon la parité de n : lim(1) (1-x²)/(1-x^n)
-pouver que : lim(-1) f_n(x)= 0

BJR à Toutes et Tous !!
BJR perly !!
Pour la première , on pose :
u : x -----------> u(x)=1-x^2
vn : x ----------> vn(x)=1-x^n
Alors il est clair que u(1)=vn(1)=0 pour tout entier naturel n>=1
alors (1-x²)/(1-x^n)={(u(x)-u(1))/(x-1)}/{(vn(x)-vn(1))/(x-1)} dès que x<>1 .
Il est alors immédiat que lim(1) (1-x²)/(1-x^n) est en fait égale à u'(1)/vn'(1)
Or u'(x)=-2x donc u'(1)=-2
vn'(x)=-n.x^(n-1) donc vn'(1)=-n
d'ou lim(1) (1-x²)/(1-x^n)=(2/n)
Pas besoin de considérer la PARITE de n ici !!!!!!!!!!!!!!!!!
A moins d'une ERREUR d'énoncé par exemple lim( -1) (1-x²)/(1-x^n) .

Pour la deuxième , c'est facile quand on a résolu la première !!
Ne s'agit-il pas de lim(1) f_n(x) ??????????????
Si c'était le cas , on écrirait :
f_n (x) = (1-x²)^n /(1-x)(1-x²)...(1-x^n)
={(1-x^2)/(1-x)}.{(1-x^2)/(1-x^2)}........{(1-x^2)/(1-x^n)}
et sa limite lorsque x------>1 serait égale,d'après la première,question à :
2.1.(2/3).(2/4)............(2/n)=(2^n)/n!

salut perly on a:
1) h_n(x)=(1-x²)/(1-x^n)
*) alors si n est impair c'est à dire n=2k k£IN* alors:
h_n(x)= [(1+x)/(1+x^k)][(1-x)/(1-x^k)] le probleme de la limite se pose on deuxieme produit
alors on a (1-x)/(1-x^k)=1/[som{m=0--> k-1}(x^m)]
alors lim(1)[(1-x)/(1-x^k)]= 1/k=2/n
alors lim(1)[h_n(x)]= 1/k.
**) si n est impaire c'est à dire n=2k+1 avec k£IN alors:
h_n(x)=(1-x²)/(1-x^(2k+1))= (1+x)/(1+x+x²+...+x^2k)
donc lim(1)[h_n(x)]=2/(2k+1)=2/n
CONCLUSION:
quelque soit n£IN* lim(1)[h_n(x)]=2/n
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lahoucine
@+

perly a écrit:

soit: f_n (x) = (1-x²)^n /(1-x)(1-x²)...(1-x^n) , n appartenant a N*
-trouver selon la parité de n : lim(-1) (1-x²)/(1-x^n)
-pouver que : lim(-1) f_n(x)= 0

Re-BJR !!
Je reprends ma soluce précédente !!
Si n est PAIR alors lim(-1) (1-x²)/(1-x^n)=u'(-1)/vn'(-1)=2/(-n(-1)^(n-1))
=2/n
Si n est IMPAIR alors vn(-1)=2 et de là :
lim(-1) (1-x²)/(1-x^n)=0/2=0
Et puisque :
f_n (x) = (1-x²)^n /(1-x)(1-x²)...(1-x^n)
={(1-x^2)/(1-x)}.{(1-x^2)/(1-x^2)}........{(1-x^2)/(1-x^n)}
Alors lim(-1) f_n(x)= 0 automatiquement !!!!

En conclusion , il y avait bien une ERREUR dans ton énoncé !
C'est lim(-1) (1-x²)/(1-x^n) qu'il faut chercher selon la parité de n.

salut à tous salut a perly :
2)pour la limite de f_(x):
on a f_(x)=h_1(x).h_2(x)..... h_n(x)
donc lim(1)[f(x)]=2.1 .2/3 .2/4 .2/5..... 2/n =prod(k=1--> n)[2/k]= (2^n/n!)
et si on a -1 a la place de 1 alors pas de difficulte car on va commencer dés le debut. (onutilise la parite de n)
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LAHOUCINE @+