1+2^(1/2), 1-2^(1/2)

Montrer que (1+2^{1/2})^{2n} + (1-2^{1/2})^{2n} est un entier pair et que (1+2^{1/2})^{2n} - (1-2^{1/2})^{2n} = b 2^{1/2} pour un certain entier b, pour tout entier n >= 1.

Hello,

Sans développer :

Soit u_n = (1+2^{1/2})^{2n} + (1-2^{1/2})^{2n}

Alors : u0=2, u1=6 et u_(n+2) = 6u_(n+1) - u_n ce qui permet de déduire tout de suite le premier résultat.

Soit v_n =( (1+2^{1/2})^{2n} - (1-2^{1/2})^{2n})/2^{1/2}

Alors : v0=0, v1=4 et v_(n+2) = 6v_(n+1) - v_n ce qui permet de déduire tout de suite le second résultat.

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Patrick