Sur les suites

Soit (u_n) une suite réelle. On pose v_n=u_(n+1)-u_n et w_n=v_(n+1)-v_n.
On suppose que (u_n) est bornée et (w_n) converge.
Montrer que (v_n) tend vers 0.

Lemme :
Soit u_n une suite bornée. Soit v_n=u_{n+1}-u_n
Si v_{n+1}-v(n) -> 0 alors v_n -> 0.

Preuve du lemme :
Supposons que v_n ne tend pas vers 0.
Alors il existe a tel que pour tout n il existe m>n : |v_m|>a.
On choisit n suffisament grand pour que |v_{n+1}-v_n| soit très petit.
Alors on a à peu près :
v_n=v_{n+1}=v_{n+2}=...=a(ou -a).
Et ceci nous amène la contradiction désirée.


Il suffit d'appliquer notre lemme deux fois pour résoudre ce problème.

c'est quoi cette solution?

C'est une idée de solution. Je n'ai pas tout détaillé (et ok, ce n'est pas très rigoureux).

Qu'est-ce qui n'est pas clair?

J'ai déjà la solution. Mais, pour l'intêret général, une solution doit être compréhensible par tout le monde.

Bonjour;
(*)On remarquera d'abord que (wn) converge vers 0
car si l est sa limite on a aussi vn/n ---> l
et comme (vn) est bornée on a l=0.
(*)Raisonnons par l'absurde et soit a une valeur d'adhérence non nulle de (vn)
quitte à changer (un) en (-un) on peut supposer a>0.
Soit f : IN ----> IN (strictement croissante) telle que vf(n) ---->a et k un entier strictement positif quelconque.
on a l'existence d'un rang N0 tel que vf(n) > a/2 dés que n>N0
on a l'existence d'un rang N1>N0 tel que vf(n)+1 > a/2 dés que n>N1 (car vn+1-vn--->0)
.
.
on a l'existence d'un rang Nk>Nk-1 tel que vf(n)+k > a/2 dés que n>Nk (car vn+1-vn--->0)
En sommant ces (k+1) inégalités on a uf(n)+k+1 - uf(n)>(k+1)a/2 dés que n>Nk
l'entier k étant arbitraire cela contredit clairement le fait que (un) est bornée (sauf erreurs bien entendu)