exo 91

salut les gas svp je me suis bloqué à l exercice 91 page 44 du livre al mofid si qq1 peut aider ! la qustion 2
pour la réponse de 1 la somme égale à 0

SVP tu peux poser l'exo car on n'a pas le livre??
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LAHOUCINE

la somme de 0a n-1
fn(k/n)=f(1/n)-f(0)+f(2/n)-f(1/n)....+f(1)-f(1/n-1)=f(1)-f(0)=0

Salut elle est un peu longue la démonstration je vais donc résumer au maximum.
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1/ la somme est égale à 0 pas la peine d'écrire la démonstration c'est facile.
2/on a fn(x) = f(x+ 1/n) - f(x)
On a g continue donc elle est borné avec quelque soit x,
m<fn(x)<M
donc en posant x=k/n on a :

m<fn(0/n)<M
.
.
.
m<fn(n-2/n)<M
m<fn(n-1/n)<M

d'ou m<sigma fn(k/n) * 1/n <M
d'ou selon le TVI (car f([0,1-1/n]) = [m,M]) et puisque fn est continue
il existe un c appartenant a ]0,1-1/n[ tel que fn(c) = sigma fn(k/n) * 1/n et puisque la somme est nul donc
fn(c) = 0
dou il existe un c appartenant a ]0,1-1/n[ tel que f(c) = f(c + 1/n)
e dou le resultat demandé car ]0,1-1/n[ est inclu dans ]0;1[

Voila. Bonne journée