Suite. - Somme de trois carrés.

La suite de nombres (a_n)_{n € N} est définie par :
a_0 = 2,
a_{n+1} = 4a_n + (15a_n^2 - 60)^{1/2}, pour tout n € N.
Trouver le terme général de a_n.
Montrer que pour tout n >= 1, le nombre 1/5(a_{2n} + 8) peut être exprimé comme somme de carrés de trois entiers consécutifs.

Bonjour,

On a : a_{n+1} = 4a_n + (15a_n^2 - 60)^{1/2}, pour tout n € N.

Première question :

E1 : a_{n+1} - 4a_n = (15a_n^2 - 60)^{1/2}, pour tout n € N.
Elevons au carré :
E2 : a_{n+1}^2 + a_n^2 = 8a_na_{n+1} - 60, pour tout n € N.
Mais aussi au rang n+2 :
E3 : a_{n+2}^2 + a_{n+1}^2 = 8a_{n+1}a_{n+2} - 60, pour tout n € N.
E3 - E2 ==> E4 : (a_{n+2} - 8a_{n+1} + a_n)(a_{n+2} - a_n) = 0
Il est facile de voir qu'en partant de a_0 = 2, la suite a_n est strictement croissante et donc nécessairement a_(n+2) > a_n

a_n peut donc être définie ainsi :
a_0 = 2
a_1 = 8
a_{n+2} = 8a_{n+1} - a_n

Cette suite est très classique et se résoud en a_n = a u^n + bv^n où u et v sont les deux racines de x^2 = 8x - 1

Ce qui donne : a_n = (4 - sqrt(15))^n + (4 + sqrt(15))^n

Deuxième question :

a_2n = (4 - sqrt(15))^(2n) + (4 + sqrt(15))^(2n)
a_2n - 2 = (4 - sqrt(15))^(2n) - 2 + (4 + sqrt(15))^(2n)
a_2n - 2 = (4 - sqrt(15))^(2n) - 2(4 - sqrt(15))^n(4 - sqrt(15))^n + (4 + sqrt(15))^(2n)
a_2n - 2 = [(4 - sqrt(15))^n - (4 + sqrt(15))^n]^2

Or, si on écrit b_n = -[(4 - sqrt(15))^n - (4 + sqrt(15))^n]/racine(15), on a clairement :
b_0 = 0
b_1 = 2
b_{n+2} = 8b_{n+1} - b_n
et b_n est donc un entier.

Donc :
a_2n - 2 = [sqrt(15) b_n]^2
a_2n - 2 = 15 b_n^2
a_2n + 8 = 15 b_n^2 + 10
a_2n + 8 = 5(b_n - 1)^2 + 5(b_n)^2 + 5(b_n + 1)^2
1/5(a_2n + 8) = (b_n - 1)^2 + (b_n)^2 + (b_n + 1)^2

Et, comme b_n est un entier, CQFD


Joli problème !
Merci mathman

De rien.
Content que ça te plaise.