ad+dc+cb+be+ea <= 1/5

Pour 0 <= a <= b <= c <= d <= e et a+b+c+d+e = 1.
Montrer que : ad+dc+cb+be+ea <= 1/5.

slt
on dois prouver que Pour 0 <= a <= b <= c <= d <= e et a+b+c+d+e = 1.
Montrer que : ad+dc+cb+be+ea <= 1/5.
supposant que ad+dc+cb+be+ea <= 1/5.
et on a ac<=dc
ab<=bc
0<=a<=b et a<=e alors a²<=eb
ce kki ns donne ac+ab+a²<=dc+bc+eb
a²+ab+ac+ad+ae<=ae+dc+cb+be+ad
et puisque ae+be+dc+cb+be<=1/5
alors a²+ab+ac+ad+ae<=1/5
on a a+b+c+d+e=1 et 0<=a<=b<=c<=d<=e
si a=b=c=d=e alors a=b=c=d=e=1/5
alors on px dire que a<=1/5
a(a+b+c+d+e)<=1/5 *1
a²+ab+ac+ad+ae<= 1/5
donc ce qu'on a supposé est vraie alors :
ae+be+dc+cb+be<=1/5

on veut montrer cette inegalité donc on peut pas la supposer,sinn tu peux nous dire quel genre de demonstration ta utilisé?

g utilisé le raisonnement par l'absurbe je suppose que c vrai et à la fin je prouve que c vrai

c pa exactement raisonnement par l'absurde mais je v te chercher un exemple ou on utilise ce genre de raisonnement et c juste

Il est clair que l'ensemble {(a,b,c,d,e) : 0 <= a <= b <= c <= d <= e et a+b+c+d+e = 1} est un compact de R^5.

La fonction f(a,b,c,d,e)=ad+dc+cb+be+ea est continue sur ce compact et y réalise donc sa borne supérieure M.

Soit (a,b,c,d,e) un point de K pour lequel f(a,b,c,d,e)=M.

Supposons que b<c. Dans ce cas, le point (a,(b+c)/2,(b+c)/2,d,e) est dans K et a une image par f qui est strictement supérieur à M : contradiction ! Donc b=c.

Supposons que c<d. Dans ce cas, le point (a,b,(c+d)/2,(c+d)/2,e) est dans K et a une image par f qui est strictement supérieur à M : contradiction ! Donc b=c=d.

Supposons que a<b=c=d<e. Dans ce cas, il existe x>0 tel que le point (a+x,b,c,d,e-x) soit dans K. Or, l'image par f de ce point sera nécessairement strictement supérieure à M : contradiction ! Donc a=b=c=d ou b=c=d=e.

Supposons a=b=c=d<e. Dans ce cas, il exsite x>0 tel que le point (a+x,b+x,c+x,d+x,e-4x) soit dans K. Or, l'image par f de ce point sera nécessairement strictement supérieure à M : contradiction ! Donc a<=b=c=d=e.

Supposons a<b=c=d=e. Dans ce cas, il exsite x>0 tel que le point (a+4x,b-x,c-x,d-x,e-x) soit dans K. Or, l'image par f de ce point sera nécessairement strictement supérieure à M : contradiction ! Donc a=b=c=d=e.

Maintenant il est clair que a=b=c=d=e=1/5 et donc que M=f(1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)=1/5.

CQFD

bah pa de commentaire à ta solution "ephemere" mais moi je ss en 1ére bac et javoue que g rieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeen compris à ce que ta écris c pk je vx savoir si ma solution à moi est valable ou pa et merci

Il y a une jolie (et simple ) solution qui utilise l'inégalité de Chebyshev.

namoussa a écrit:

je vx savoir si ma solution à moi est valable ou pa et merci

À vue d'oeil ta solution est incorrect car tu utilises la thèse dans la preuve.