Produit de nombres pairs, impairs.

Soit p>5 un nombre premier.
Soit A le produit de tous les entiers impairs de [p+1; 3p-1].
Soit B le produit de tous les entiers pairs de [p+1; 3p-1].

Montrer que :
(1) A = 2^{p-1} (p-1)! (mod p^3)
(2) 2^{p-2} B = p! (mod p^4).

salut mathman
tu peut reecrire les questions
j ai pas bien compris lecriture
merci

Ok, la première :


Et la deuxième :

A=(p+2)(p+4)(p+6)...(p+2(p-1))
soit l'ensemble E={2,4,6,..,2(p-1)}
et J_k={l'enemple des produits des elements des parties de E à k elements}
par exemple J_1=E et J_2={2*4,2*6,8*(2(p-1)).....} et J_(p-1)={2^{p-1}(p-1)!}
maintenant on pose S_k=la somme des element de J_k

A=2^{p-1}(p-1)!+pS_{p-2}+p²S_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S_{p-1-k})
soit P(X)=(X-1)(X-1)...(X-(p-1))
(p-1)!=P(p)=(p-1)!+pS'_{p-2}+p²S'_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S'_{p-1-k}) (avec S_k=(2^k)S'_k)
donc pS'_{p-2}+p²S'_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S'_{p-1-k})=0
donc p^3 divise pS'_{p-2}+p²S'_{p-3} par suit il divise pS_{p-2}+p²S_{p-3}

donc A=2^{p-1}(p-1)!+pS_{p-2}+p²S_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S_{p-1-k})=2^{p-1}(p-1)! (mod p^3)

Bonjour,

pilot_aziz a écrit:

soit P(X)=(X-1)(X-1)...(X-(p-1))

probablement P(X)=(X-1)(X-2)...(X-(p-1))

pilot_aziz a écrit:

(p-1)!=P(p)=(p-1)!+pS'_{p-2}+p²S'_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S'_{p-1-k}) (avec S_k=(2^k)S'_k)

Non, je pense qu'il y a un problème de signe :
(p-1)!=P(p)=(p-1)!-pS'_{p-2}+p²S'_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (-1)^(p-1-k)(p^k)(S'_{p-1-k}) (avec S_k=(2^k)S'_k)

pilot_aziz a écrit:

donc pS'_{p-2}+p²S'_{p-3}+\sum_{k=3}^{p-1} (p^k)(S'_{p-1-k})=0
donc p^3 divise pS'_{p-2}+p²S'_{p-3} par suit il divise pS_{p-2}+p²S_{p-3}

p^3 divise pS'_{p-2}-p²S'_{p-3}

et je suis coincé pour conclure

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Patrick