exo

1) soit f une fonction définie et continue sur [0.1] et f([0.1])c[0.1] démontrer que :ilexiste a E [0.1] :f(a)+f(1-a)=2a

2) soit f une fonction définie et continue sur un intervale I et f(x) déférent o qq soit x E I démontrer que(إشارة) f fixe

1/h(x)=f(x)+f(1-x)-2x (1-x e [0.1]) et h continue sur [0.1]
h(0)=f(0)+f(1)>=0
h(1)=f(1)+f(0)-2 =<0
donc il existe a de [0.1] tel que h nulle =>..
2/on doit demontrer que ( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I
supposons que
qqsoit x de If(x)#0 et (il existe x de I f(x)<=0 f(x)>=0)<=>qqsoit x de If(x)#0 et (il existe un x de I tel que f(x)=0) ce qui est absurde donc supposition fausse et non supposition vrai
sauf erreur

salut soufiane
on pose h(x)=f(x)+f(1-x)-2x
h(1)=f(1)+f(0)-2
h(0)=f(0)+f(1)
h(0)*h(1)=f(1)^2+2f(1)*f(0)+f(0)^2-2f(1)-2f(0)
h(0)*h(1)=(f(1)+f(0))^2-2(f(1)+f(0))-1+1
h(0)*h(1)=((f(0)+f(1))^2-1)-1
on a
1>f(x)>0
2>f(0)+f(1)>0
1>f(0)+f(1)-1>-1
|f(0)+f(1)-1|<1
|f(0)+f(1)-1|^2<1
-1<(f(0)+f(1)-1)^2<1
-2<(f(0)+f(1)-1)^2-1<0
h(0)*h(1)<0

conclure !!!

pour le 1 jé fé qqch chui po sur..

stp pourquoi f(0)*f(1)<0

Citation :

2/on doit demontrer que ( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I
supposons que
qqsoit x de If(x)#0 et (il existe x de I f(x)<=0 f(x)>=0)<=>qqsoit x de If(x)#0 et (il existe un x de I tel que f(x)=0) ce qui est absurde donc supposition fausse et non supposition vrai
sauf erreur

je 'en supplie de m'expliker si tu a dit que il existe x de I f(x)<=0 et f(x)>=0 ou bien l existe x de I f(x)<=0 ou f(x)>=0 ???
parceque tu n'aura pas le droit de dire que f(x)=0 que si tu avais dit OU ... !

wi c un et car j'ai fait non (qqsoit xe de I f(x)>0 ou f(x)<0)<=>il existe un x de I /f(x)<=0 ET f(x)>=0==>f est nulle pour ce meme x
desole

non ! ta ecrit : ( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I !!!!!!

bah oui
tu pourrais faire non cette proposition?merci

ah dsl ! c super nickel !! 20/20

.......

ok je vais reecrire plus claiement
on doit demontrer
( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I
non (( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I)<=> ( f(x)#0 qqsoit x de I) et non( f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I) <=>( f(x)#0 qqsoit x de I) et (il existe x1 de I f(x)>=0 x2 et f(x2)<=0)(on applique TVI pour montrer qu'il ya un c entre ce x1 et x2 ou f est nulle<=>( f(x)#0 qqsoit x de I) et (il existe un c de I f(x)=0)
P et non P tjs fausse donc non( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I est faux d'ou
( f(x)#0 qqsoit x de I) ==> f(x)>0 ou f(x)<0 pour tout x de I vrai
la je crois que c'est clair

Dzl l
je voulais dire

f ([0.1]) C [0.1] → h([0.1]) C [0.1] → 0≤h(x)≤0

et continuer de suite

c'est correct ???

mais h nest pas toujours positive

2)qq soit x de I f(x)#0==>(qq soit x de I):f(x)>0 ou f(x)<0
on suppose qu'il existe (x0;y0) de I² tel que f(x0)>0 et f(y0)<0;d'après tvi il existe c de I tel que f(c)=0 ce qui est absurde.