Exo 2

bonsoir les amis ..

a،b،c sont 3 nombres réels positifs :
c>=b>=a

montrer que :

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2

C'est l'inégalité de Nesbitt.

calssique^^
je crois que cet inégalité est posté 100.... fois

oui c facile on la poster dans lolympiade bcp de fois

vous pouvez poste la réponse svpp je suis nouveau est je l ai jamais vus lol

S=a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)=(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(a+c) + (a+b+c)/(a+b) -3
==> S=(a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3=1/2(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3
Application de l'inégalité de la moyenne :

(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))>=9
On conclut.

mhdi a écrit:

S=a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)=(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(a+c) + (a+b+c)/(a+b) -3
==> S=(a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3=1/2(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) -3
Application de l'inégalité de la moyenne :

(a+b+b+c+a+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c))>=9
On conclut.

comment

voila on a c>=b>=a donc
b=<c <=> b+c < 2c <=> 1/b+c >1/2c
a=<c <=> a+c < 2c <=> 1/ a+c > 1/2c
a=<b <=> a+b < 2b <=> 1/ a+b > 1/2b
donc a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= a/2c + b/2c + c/2b
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (a+b)/2c + c/2b
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (ab +b^2 + c^2)/2bc
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (2bc + bc)/2bc
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= 3bc/2bc >= 3/2

? a écrit:

voila on a c>=b>=a donc
b=<c <=> b+c < 2c <=> 1/b+c >1/2c
a=<c <=> a+c < 2c <=> 1/ a+c > 1/2c
a=<b <=> a+b < 2b <=> 1/ a+b > 1/2b
donc a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= a/2c + b/2c + c/2b
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (a+b)/2c + c/2b
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (ab +b^2 + c^2)/2bc
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= (2bc + bc)/2bc
<=> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)>= 3bc/2bc >= 3/2

c impossible ta fait une faute

erf jai pas vue

tu était presque ^^ corrige la stpp

ok je vais voir

je crois qu'on peut utiliser chebychev et caushy shwarz f les olympiade de TC. pourquoi pas le faire?

peu etre