De la difficulté de certains Exos de Manuels Scolaires .....

BSR à Toutes et Tous !!!
Dans ce Topic , il m'amène de parler de certains exercices d'Al-Moufid BACSM Analyse .
Ils sont dans la majorité des cas biens choisis mais souvent , l'apprenant ne sait par ou commencer !!!
Je n'ai pas honte de dire que celà m'est arrivé en face d'un exo de cet ouvrage !!
Le voici , c'est le Numéro 75 Page 42 qui dit en substance :
<< Soient f et g deux applications continues de [0;1] à valeurs dans IR , on suppose que f([0;1])=[0;1] . Montrer alors qu'il existe un élément c de [0;1] tel que f(c)=g(c) >>

Très court , blindé et très hermétique , difficile de rentrer dedans !! Pourtant si on rallongeait un peu plus l'énoncé en y posant d'autres questions intermédiaires conduisant l'apprenant à une soluce , ce serait pour le moins très didactique , encore plus pédagogique et combien motivant pour l'apprenant qui arrive à trouver !!!

Ainsi la clé de cet Exo est le résultat suivant ( auquel on ne pense pas du tout du reste !!! ) :

Lemme : Si u et v sont deux applications continues de [0;1] dans IR telles que u(x)>v(x) pour tout x dans [0;1] alors :
il existe m>0 tel que u(x)>=v(x)+m pour tout x dans [0;1] .

Qu'en pensez-vous ?????

PS : Rectificatif , dans l'énoncé du Manuel cité , f et g sont à valeurs dans [0;1] et la solution est beaucoup plus simple ( Voir la réponse de khatir123 plus bas !! Merci khatir123 !!

bonsoir Mr Oeil_de_Lynx;
je propose une autre méthode;
on suppose que h(x)=f(x)-g(x)
***on a f([0;1])=[0;1] donc il existe (x0;y0) tel que:
f(x0)=0 et f(y0)=1 donc h(x0)=-g(x0)<0 et h(y0)=1-g(x0)>0 donc h(x0)h(y0)<0 d'où la résultat.

khatir123 a écrit:

bonsoir Mr Oeil_de_Lynx;
je propose une autre méthode;
on suppose que h(x)=f(x)-g(x)
***on a f([0;1])=[0;1] donc il existe (x0;y0) tel que:
f(x0)=0 et f(y0)=1 donc h(x0)= -g(x0)<0 et h(y0)=1-g(y0)>0 donc h(x0)h(y0)<0 d'où la résultat.

BSR khatir123 !!
Je t'ai bien suivi !! Mais celà ne marche pas !!!!
Seulement pour affirmer que -g(xo)<0 et 1-g(yo)>0 tu as besoin de savoir que g est à valeurs dans [0;1] . Ce qui n'est pas forcément réalisé !!
Ce que l'énoncé donne c'est : f et g sont des fonctions continues de [0;1] à valeurs dans IR.

mais dans le Manuel Scolaire ils ont posé que:f et g sont des fonctions continues de [0;1] à valeurs dans [0;1].

khatir123 a écrit:

mais dans le livre ils ont posé que:f et g sont des fonctions continues de [0;1] à valeurs dans [0;1].

OUI , tu as raison khatir123 !!
J'ai vérifié et donc ta Démo fonctionne grace au TVI !!
Celà dit , saurais-tu le résoudre avec seulement f et g continues de [0;1] dans IR , le reste de l'énoncé sans changement !!

Celà dit , saurais-tu le résoudre avec seulement f et g continues de [0;1] dans IR , le reste de l'énoncé sans changement !![/quote]
Bsr et ramadan mobarek
Je pense monsieur Lhassane que sans la supposition f([0,1])=[0,1] et
g([0,1])=[0,1] le probléme n'est ps forcement possible!

madani a écrit:

Celà dit , saurais-tu le résoudre avec seulement f et g continues de [0;1] dans IR , le reste de l'énoncé sans changement !!

Bsr et ramadan mobarek
Je pense monsieur Lhassane que sans la supposition f([0,1])=[0,1] et
g([0,1]) INCLUS DANS [0,1] le probléme n'est ps forcement possible![/quote]

BJR Mr MADANI & Merci !!
Tout va Bien chez Vous !!
Bonne Continuation de Ramadan
Puisses DIEU exaucer tous vos Souhaits !!

En fait , je ne voulais pas toucher à f mais à g , je pensais que l'on pouvait seulement supposer g continue sur [0;1]
MAIS à valeurs dans IR !
En fait , j'ai vérifié ma Démo ( basée sur le Lemme plus haut ) et vous avez tout à fait RAISON !!!
g doit être à valeurs dans [0;1] aussi pour que celà fonctionne !!

Citation :

BJR Mr MADANI & Merci !!
Tout va Bien chez Vous !!
Bonne Continuation de Ramadan
Puisses DIEU exaucer tous vos Souhaits !!

En fait , je ne voulais pas toucher à f mais à g , je pensais que l'on pouvait seulement supposer g continue sur [0;1]
MAIS à valeurs dans IR !
En fait , j'ai vérifié ma Démo ( basée sur le Lemme plus haut ) et vous avez tout à fait RAISON !!!
g doit être à valeurs dans [0;1] aussi pour que celà fonctionne !!

[/quote]Bjr Mr lhassane
je vais b1 lhamdolilah et merci pr les complements!
Svp Commment peut on faire espace ds mathtype?

bouton (a_b )a coté de < en haut sous "File" ou b1 changer le style(Maths-->texte)

merci imane20 pour l'aide !

De r1 Mr Madani.