Exo de dérivabilité (formule de Leibnitz )

Salut , pouvez vous m'aider s'il vous plait à résoudre cet exo ?



C'est affichable maintenant . Bonne résolution !

Salut,

Pour la première question c simple tu utilise la dérivabilité du produit de deux fonctions
Pour la deuxième question concernant la récurrence, voici un lien pour la démonstration : valentin.vinoles.free.fr/documents/formule_leibniz.pdf
3) a- c'est facile : (1+x²).x/V(1+x²)=x.V(1+x²)=xf(x)
b- Là il faut utiliser la formule de Leibniz :
(1+x²)f(1)(x)=xf(x)
[(1+x²)f(1)(x)](n)=[xf(x)](n) ((n) est la dérivée nième)
Puis tu remplace avec l'expression de la formule de Leibniz
tout en utilisant le fait qu'à partir de k=2 : (x)(2)=0 (donc le reste de la somme s'annule) et qu'à partir de k=3 (1+x²)(3)=0
c- (1+x²)f(1)(x)=xf(x)
Possible avec récurrence:
f(1)(0)=0
si : f(2n+1)(0)=0
f(2n+2)(0)=0.f(2n+1)(0)=0

rien à ajouter ..
seulement je te propose une preuve assez simple de la formule de Leibnitz que j'ai fait moi même !

Citation :

le théorème est le suivant :
f.g est n fois dérivable sur I et :


et la preuve se fait par récurrence sur n :
pour n =2 C'est vrai (MêMe Pour 1)
soit n :
supposons que Hn est vraie
et montrons Hn+1

d'après l'hypothèse de récurrence on a fg est n fois dérivable donc :

Bonne chance

Mehdi !

PS : la formule de Leibnitz s'applique qqsoit n >= 1

Merci infiniment vous deux !!

limag ne s affishe pas

image s'affche pas

Maintenant l'image s'affiche, ça serait bien de refaire cette exercice car il est très intéressant pour bien maitriser les notions de dérivabilité.