la continute

pour la deuxieme question :d on va utiliser le premier resultat
f(IR)=E(f²(IR)) on sait que E(I) est de Z d'ou la rép

f(x)=k tel que k £ Z

bjr tt le monde
1/puisque f est continue alors f(R) est un intervale mais puisque f(R)£Z donc f(R) est denombrable et le seul intervale denombrable dans R est l'intervale point donc f(R)=(k)
donc f(x)=k
j'ai une solution sans l'utilisation de la denombrabilite je la posterait des que je re de l'ecole
a+

Pouvons nous dire que f(R) est un intervalle si f est continue ??

resalut
voila l'autre methode:
supposons que f(R) contient au moins deux elements distincts qu'on notera ya=f(xa) et yb=f(xb) avec xb<xa (resp. xa<xb)
puisqu'ils sont distincts on peut alors supposer que yb<ya
on sait qu'il existe un xc de R-Z tel que yb<yc<ya cad f(xb)<yc<f(xa)
puisque f est continue alors d'apres le TVI on a :
il existe xc de [xb,xa] (resp. [xa,xb]) tel que f(xc)=yc
donc yc £ f(R)£ Z ==> contradiction avec le fait que yc £R-Z

wiles a écrit:

Voila l'autre methode:
supposons que f(R) contient au moins deux elements distincts qu'on notera ya=f(xa) et yb=f(xb) avec xb<xa (resp. xa<xb)
puisqu'ils sont distincts on peut alors supposer que yb<ya
on sait qu'il existe un xc de R-Z tel que yb<yc<ya cad f(xb)<yc<f(xa)
puisque f est continue alors d'apres le TVI on a :
il existe xc de [xb,xa] (resp. [xb,xa]) tel que f(xc)=yc
donc yc £ f(R)£ Z ==> contradiction avec le fait que yc £R-Z

BJR Wiles !!!
Cette démo est plus que SATISFAISANTE et mieux structurée que ta première !!! BRAVO !!!
A+ LHASSANE

merci monsieur

voila une autre f(x) est continue en R cela veus dire qu il est continu dans un point x0 donc du tou epsilon >0 il existe un alpha tel que /x-x0/<alpha ==>/f(x)-f(x0)/<epsilon on met dans le cas de epsilon=1 on aura /f(x)-f(x0)/<1 donc f(x)-f(x0)=0 puisque f(x)-f(x0) appartiens a Z donc f(x)=f(x0)

BJR saiif3301 !!!
J'y ai pensé aussi !!
Mais tu n'auras f(x)=f(xo) que pour les x de IR vérifiant
xo-alpha <x<xo+alpha c'est tout !!
Autrement dit f est constante sur ]xo-alpha;xo+alpha[ !!!
C'est insuffisant !!!!
A+ LHASSANE

mais est ce qu il existe une fonction constante si x appartiens a ]xo-alpha;xo+alpha[ est pas contante dans R-]xo-alpha;xo+alpha[

f(x)=1 ou 0