Bonsoir Mr Attioui :-)
pour le problème je peux utiliser des connaissances sur la topologie générale sans utilisé les normes ... (voyons deja quelles sont équiv.)
pour les deux premières questions j'utilise que: dans un e.v.n toute partie étoilée est connexe par arc en effet:
1) le complémntaire de GL(n,IR) est étoilé par la matrice nulle O, on effet:
si je Pose N(n,IR) = Mn(IR)\GL(n,IR) alors: pr tt A£ N(n,IR) , pr tt t£[0,1] : tA £ N(n,IR) donc pr tt A £ N(n,IR) pr tt t£[0,1] : tA + (1-t)O £ N(n,IR) donc N(n,IR) est étoilé donc connexe par arc.
de même pour 2) puisque toute matrice diagonalisable est stable par produit par scalaire voyons déja que la matrice nulle O est diagonalisable donc l'ensemble des matrice diagonalisable est étoilé en O ce qui montre qu'il est connexe par arc.
3) pr tt A,B £ Sn+(IR) pr tt t£[0,1] : tA + (1-t)B £ Sn+(R) évident car Sp(Sn+(IR)) C ]0, + oo[ , donc Sn+(IR) est convexe d'une autre part supposons que Sn+(IR) est fermé donc toute suite convergente de Sn+(IR) sa limite appartient à Sn+(IR), soit alors A £ Sn+(IR) donc A_n = (1/n) A est une suite convergente vers la matrice nulle en effet: ||A_n|| = ||A||/n ---> 0 mais la matrice nulle n'appartienne pas à Sn+(IR) donc Sn+(IR) est non fermé.
Conclusion: Sn+(IR) est un convexe non fermé.
(PS: on peut meme considerer l'app. continue det: Sn+(IR) ---> IR donc puisque det(Sn+(IR)) = ]0,+oo[ un ouvert alors Sn+(IR) est un ouvert, et puisque Sn+(IR) est un sous espace d'un espace connexe (espace des matrices diagonalisable) alors Sn+(IR) ne seront pas fermé)
4) facile, on peut faire par plusieurs methodes...
det(GL(n,R)) = IR* = ]-oo,0[U]0,+oo[ qui est bien un ouvert de IR et puisque det est continue donc GL(n,R) est un ouvert.
pour la densité: soit A £ Mn(R) alors A_m = A - (1/m) In est bien une suite converge vers A car ||A_m - A|| = (1/m) ---> 0, et en plus det(A_m) # 0 (evident!) donc Gl(n,R) est dense dans Mn(IR)......
et merci
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