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 difficile ...(je crois)

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bel_jad5
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Masculin Nombre de messages : 529
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MessageSujet: difficile ...(je crois)   difficile ...(je crois) EmptySam 29 Juil 2006, 22:47

Résoudre le système suivant dans R :
x+y²+z^4=0
y+z²+x^4=0
z+x²+y^4=0

Bonne chance
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pco
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MessageSujet: Re: difficile ...(je crois)   difficile ...(je crois) EmptyDim 30 Juil 2006, 16:30

Bonjour,

bel_jad5 a écrit:
Difficile ...(je crois)

Je crois aussi ! :)


Bon, une solution un peu "béton" :

1) si l'un des trois nombres est nul, les deux autres le sont nécessairement et on a la solution évidente x = y = z = 0
2) supposons x, y et z non nuls. On voit tout de suite qu'ils sont négatifs. Par ailleurs, si on suppose (sans restriction) que celui de valeur absolue minimale est x, on a : |x| = |y|^2 + |z|^4 mais |x| <= |y| et |x| <= |z|. On en déduit qu'ils sont tous strictement entre -1 et 0.

Alors :
y + z^2 + x^4 = 0 ==> z^2 = -y - x^4 ==> z^4 = y^2 + x^8 +2yx^4. On reporte z^4 dans la première et il vient : y^2 + yx^4 + (x^8 + x)/2= 0 qui est une équation du second degré en y, de discriminant -x^8 - 2x positif, et donc possédant deux racines réelles dont le produit est (x+x^8)/2, négatif. Cette équation ne possède donc qu'une seule racine réelle négative et :

y = (-x^4 - sqrt(-x^8 - 2x) )/2

En appelant f(x) la fonction (-x^4 - sqrt(-x^8 - 2x) )/2 , nos trois nombres vérifient donc :

y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)

et, en particulier, f(f(f(x))) = x, avec x dans ]-1, 0[
On se rend assez facilement (!) compte que f(x) est monotone croissante sur ]-1,0] et que f(]-1,0[) = ]-1,0[. En conséquence :
f(x) > x ==> f(f(f(x))) > f(f(x)) > f(x) > x et f(x) < x ==> f(f(f(x))) < f(f(x)) < f(x) < x

Les seules solutions possibles sont donc si f(x) = x, donc si x=y=z, donc, en reportant dans les équations initiales, si x + x^2 + x^4 = 0, donc si x^3 + x + 1 = 0

x^3 + x + 1 = 0 ne possède qu'une solution réelle, effectivement dans ]-1, 0[ : -0,682327804 dont on peut obtenir une forme explicite via les formules de Cardan : (racine_cubique(-27/2 + 3racine(93)/2) + racine_cubique(-27/2 - 3racine(93)/2))/3

Les seules solutions au problème sont donc :

x = y = z = 0
x = y = z = -0,682327804 = (racine_cubique(-27/2 + 3racine(93)/2) + racine_cubique(-27/2 - 3racine(93)/2))/3

--
Patrick
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: difficile ...(je crois)   difficile ...(je crois) EmptyDim 30 Juil 2006, 18:45

je vien de trouver cette solution , jespere qu il ya pa d erreurs , je sui un peu pressé ,

soit (x,y,z ) une solution , on a clairement x , y et z sont négatifs
sans perte de généralité on peut supposer que |x|>= |y|>=|z|
d ou -x>= -y<=-z or -x=y²+z^4 , -z=x²+y^4
d ou y²+z^4>=x²+y^4>=x²+z^4
d ou y²>=x² ce qui donne |y|>=|x|
d ou y=x
on remplace dans le systeme : (1) x+z²+x^4=0 et (2) z+x²+x^4=0
on retranche 1 de 2 : x²-z²+(z-x)=0 (x-z)(x+z-1)=0 d ou x=z
ainsi x=y=z
x+x²+x^4=0
conclusion le systeme admet 2 solutions (0,0,0) et (a,a,a) ou a est la solution de 1+x+x^3=0
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MessageSujet: Re: difficile ...(je crois)   difficile ...(je crois) EmptyDim 30 Juil 2006, 19:02

Bonjoir,

Pas mal, mais très légèrement incomplet :
bel_jad5 a écrit:
sans perte de généralité on peut supposer que |x|>= |y|>=|z|

Non. Tu peux dire que sans perte de généralité, la valeur absolue maximale est celle de x. Mais une fois cela dit, y et z ne jouent pas des rôles symétriques.
Il faut alors étudier deux cas :
|x|>= |y|>=|z|
|x|>= |z|>=|y|

Tu traites le premier cas (avec une faute de frappe au début où tu écris -x>= -y<=-z au lieu de -x>= -y>=-z ).

Le deuxième cas (|x|>= |z|>=|y| ) peut se traiter avec la même idée :
-x>= -z >=- y
y²+z^4 >= z²+x^4 >= y²+x^4 ==> z^4 >= x^4 ==> |z| >= |x| ==> z=x

.. et la suite idem.


C'est beaucoup plus élégant que mon approche (mais heureusement avec le même résultat).
Bravo !
cheers

--
Patrick
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: difficile ...(je crois)   difficile ...(je crois) EmptyDim 30 Juil 2006, 23:31

ah oui c vrai je l ai pas remarqué
bien vu pco
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