Suite réelle

Lu ,
a£IR+*.
1/ Montrer que la suite définie (U_n)n£IN*, est convergente :
u_n=n.(a^(1/n)-1).
2/Soit : L(a)=lim{n.(a^(1/n)-1)}
Montrer que : L(ab)=L(a)+L(b).

la question 1 donne le résultat de la 2
lim u_n =lim ln(a){e^(ln(a)/n)-1}/(ln(a)/n) =ln(a) dc elle converge

et la deuxieme question en découle

salut il est facile aussi d'utiliser l'equivalence:
(a)^(1/n)-1 € ln(a)/n alors un € ln(a) (€= equivalent à au voisinnage de +00).
alors (u(n)) est convergente de limite ln(a).
2)
il est claire que L(ab)=lim[n((ab)^(1/n -1)]
donc on a:
(ab)^(1/n)-1 € ln(ab)/n= (ln(a)/n)+(ln(b)/n).
donc un(ab) € ln(a)+ln(b) ==> lim=L(a)+L(b).
donc L(ab)=L(a)+ L(b).
C.Q.F.D
__________________________________________________________________
LaHOUcInE
@++

pkoi refaire la démonstration
déjà la limite de Un(a)= ln(a) a étant quelconque dans IR*+ donc lim Un(ab)=L(ab)=ln(ab)=ln(a)+ln(b)=L(a)+L(b)

callo a écrit:

pkoi refaire la démonstration
déjà la limite de Un(a)= ln(a) a étant quelconque dans IR*+ donc lim Un(ab)=L(ab)=ln(ab)=ln(a)+ln(b)=L(a)+L(b)

oui cé juste , enfaite ds la question, il est mentionné de ne pas utiliser le logarithme, mais bon j l'ai pas dis pacq j'ai cru que vous allé cherché La monotonie...Sinon ta méthode courte & efficace.

Sinon, Etudiez la monotonie de cette suite.

1 * lin U_n = 0
donc U_n est convergeante

U_n est décroissante

Citation :

Sinon, Etudiez la monotonie de cette suite.

salut Nea®,
mabrouk 3washe a tous , pour la monotonie étudiez la fonction f x:--->a^x , cette fonction comme tu le remarque est convexe cela nous rapelle théorème dans le cours
théorème:
si f une fonction convexe <=> l'application g x:---->(f(x)-f(a))/(x-a) croissante quelque soit a£I(I=désigne un intervalle de IR)
je vous laisse la délicatesse de finir la démonstration
bonne fête à tous !

stifler a écrit:

Citation :

Sinon, Etudiez la monotonie de cette suite.

salut Nea®,
mabrouk 3washe a tous , pour la monotonie étudiez la fonction f x:--->a^x , cette fonction comme tu le remarque est convexe cela nous rapelle théorème dans le cours
théorème:
si f une fonction convexe <=> l'application g x:---->(f(x)-f(a))/(x-a) croissante quelque soit a£I(I=désigne un intervalle de IR)
je vous laisse la délicatesse de finir la démonstration
bonne fête à tous !

Lu ,
3id Mobarak à toi aussi ^.^.
Bon ce que j'ai fait c'est :
U_(n+1) < U_n <=> (n+1)( a^(1/(n+1))-1) < n(a^(1/a)-1)
<=> (a^(1+n)-1) < n( a^(1/n) - a^(1/(n+1)) )
Si on pose b = a^1/(n+1)
on aura par la suite : b-1= (b^(1/n)-1).(1+b^(1/n)+...+b ^((n-1)/n) )
clair le résultat ...