sur les racines ..

Le polynôme P(x)=x^3+ax²+bx+c possède 3 racines réelles 2 à 2 distinctes .
Le polynôme P(Q(x)) où Q(x)=x²+x+2001 n'a pas de racines réelles.
Montrer que P(2001)>1/64

Bonjour,

Les trois racines de P sont a1, a2 et a3 et on a donc P(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)
Les racines de P(Q) sont les solutions de Q(x) = a1, Q(x)=a2 et Q(x) = a3.
L'absence de racines réelles de P(Q) implique que ces trois équations du second degré ont chacune leur discriminant strictement négatif.

Soit 1 - 4(2001-a1) < 0, 1 - 4(2001 - a2) < 0 et 1 - 4(2001 - a3) <0
Soit encore 2001-a1 > 1/4, 2001-a2 > 1/4 et 2001-a3> 1/4, et donc (2001-a1)(2001-a2)(2001-a3) > 1/64, soit P(2001)> 1/64.

CQFD

et le fait que les racines soient distinctes ne me paraît pas nécessaire. Il faut simplement qu'il y ait bien 3 racines réelles (deux racines complexes rendraient le raisonnement faux).

--
Patrick

Bien vu Patrick