application

bjr,
voila un petit exo:
soit f une application , tel que:

f:INxIN*-->IN
(x,y)-->(x+y)²+y
montrer que f est injective (tabayoni)

fixons y puis f(m)=f(n)<=>(m+y)²+y=(n+y)²+y
<=>(m-n)(m+n+2y)=0
et puisqu'on a m+n+2y differre de 0cela implique que m=n.
donc f est injectif.

@n.naoufal : tu es sûr de ta solution?
Pour montrer que f est bijective, on doit montrer que A(x,y), (a,b)£NxN* on a : f(x,y)=f(a,b)=>x=a et y=b

Sinon, on pourrais tout aussi bien montrer que
f:RxR-->R
(a,b)=a+b
est bijective(ce qui est absurde)!

n.naoufal a écrit:

fixons y puis f(m)=f(n)<=>(m+y)²+y=(n+y)²+y
<=>(m-n)(m+n+2y)=0
et puisqu'on a m+n+2y differre de 0cela implique que m=n.
donc f est injectif.

tu n'a fais que le cas facile (celui de y=y')
mais où est le cas de y#y' ???

N'oubliez pas de nous aider à résoudre cette exercice les amis ...

No one !w!w!w!w!

botmane a écrit:

bjr,
voila un petit exo:
soit f une application , tel que:
f:INxIN*-->IN
(x,y)-->(x+y)²+y
montrer que f est injective (tabayoni)

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Othmane !!

Un peu dur votre exo !!!
Je donne simplement une idée pour bien démarrer .....
Pour k entier naturel , on pose
Sk={ (n,m) de INxIN , n+m=k }
Ainsi :
So={(0,0)}
S1={(1,0),(0,1)}
S2={(2,0),(1,1),(0,2)} etc ......
Vous pouvez vérifier que les ensembles Sk lorsque k varie dans IN , sont deux à deux disjoints et que leur réunion nous donne INxIN tout entier .
on dit alors que :
la famille {Sk , k dans IN } forme une PARTITION de INxIN

Soient (p,q) et (r,s) deux élements de INxIN tels que
f(p,q)=f(r,s) c'est-à-dire (p+q)^2+q=(r+s)^2+s
Est-ce-que p=r et q=s ????

On fera par disjonction de cas !!
1) Si (p,q) et (r,s) sont dans le même Sk avec forcément k=p+q=r+s
2) Si (p,q) et (r,s) appartiennent l'un à Sk et l'autre à Sk' avec k<>k'

Alors mnt vous êtes un peu orientés !!!!

PS: Mon P'Tit Bonjour à la Famille !!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

botmane a écrit:

bjr,
voila un petit exo:
soit f une application , tel que:
f:INxIN*-->IN
(x,y)-->(x+y)²+y
montrer que f est injective (tabayoni)

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Othmane !!

Un peu dur votre exo !!!
Je donne simplement une idée pour bien démarrer .....
Pour k entier naturel , on pose
Sk={ (n,m) de INxIN , n+m=k }
Ainsi :
So={(0,0)}
S1={(1,0),(0,1)}
S2={(2,0),(1,1),(0,2)} etc ......
Vous pouvez vérifier que les ensembles Sk lorsque k varie dans IN , sont deux à deux disjoints et que leur réunion nous donne INxIN tout entier .
on dit alors que :
la famille {Sk , k dans IN } forme une PARTITION de INxIN

Soient (p,q) et (r,s) deux élements de INxIN tels que
f(p,q)=f(r,s) c'est-à-dire (p+q)^2+q=(r+s)^2+s
Est-ce-que p=r et q=s ????

On fera par disjonction de cas !!
1) Si (p,q) et (r,s) sont dans le même Sk avec forcément k=p+q=r+s
2) Si (p,q) et (r,s) appartiennent l'un à Sk et l'autre à Sk' avec k<>k'

Alors mnt vous êtes un peu orientés !!!!

PS: Mon P'Tit Bonjour à la Famille !!!

merci Mr.Oeil_de_Lynx, j'ai bien compris le premier cas,
mais pour le 2ème , je ne sais pas comment on va procéder ?

BSR Othmane !!
DSL pour le retard !!!
Mes neuronnes sont un peu givrés à cause du froid et de cette satanée grippe qui m'a cloué au lit un bout de temps !!!

Voilà une Démo directe !!!
Soient (p,q) et (r,s) deux éléments de INxIN* tels que
f(p,q)=f(r,s) c'est-à-dire (p+q)^2+q=(r+s)^2+s
On pose k=p+q et k’=r+s alors forcémént k>=1 et k’>=1 car q et s sont dans IN*
Alors k^2 – k’^2=s-q
Soit (k-k’).(k+k’)=s-q
Or k-k’=(p-r)+(q-s) d’ou (p-r).(k+k’)-(s-q).(k+k’)=s-q
Et enfin (p-r).(k+k’)=(1+k+k’).(s-q)

Pour utiliser la divisibilité dans IN , on écrira alors :
|p-r|.(k+k’)=(1+k+k’).|s-q|
De laquelle on déduit que k+k’ DIVISE (1+k+k’).|s-q|
Or k+k’ est PREMIER avec (1+k+k’) donc d’après le Théorème de GAUSS
(k+k’) devra diviser |s-q|
et comme |s-q|<=s+q < p+q+r+s = k+k’ alors NECESSAIREMENT |s-q|=0
d’où s=q
Maintenant si s=q alors k=k’ et de là p=k-q=k’-s=r
Ce Qu’il Fallait Démontrer !!!

merci Mr lahssane de votre réponse globale , j'ai bien compris la méthode ,
j'espère que votre santé se retablirera rapidement
merci une autre fois!

Théorème de GAUSS ??