Solution postée
Bonjour.
Je note les x_i par a,b,c et d
La symétrie des rôles permet de supposer que 1=<a=<b=<c=<d.
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=<(1+1/a)^4 ==> a=< 1/(5^(1/4)-1)<3. Donc 1=<a=<2.
Si a=2, alors 3(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=10 =< 3(1+1/b)^3
==> 2=<b=<1/((10/3)^(1/3)-1)<3. Donc b=2.
==> 9(1+1/c)(1+1/d)=20 =< 9(1+1/c)²==> c=< 1/((20/9)^(1/2)-1)<3. Donc c=2.
==> 27(1+1/d)=40 ==> 1/d=13/27 ==> d non entier. Donc a=1.
2(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=< 2(1+1/b)^3
==> 1=<b=<1/((5/2)^(1/3)-1)<3. Donc 1<=b=<2.
Si b=2==> 3(1+1/c)(1+1/d)=5 =< 3(1+1/c)²==> 2=<c=< 1/((5/3)^(1/2)-1)<4. Donc 2=<c=<3.
Si c=2, alors 9(1+1/d)=10 ==> d=9
Si c=3, alors 4(1+1/d)=5 ==> d=4
Si b=1 ==> ..... ( même technique)
Les solutions sont : (1,2,2,9), (1,2,3,4) , (1,1, 8,9) , (1,1, 6,14), (1,1, 5,24)et leurs permutations.
A+
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وقل ربي زد ني علما