pr ceux qui aiment le challenge ...

voilà un bon exo de fonction :
soit f la fonction définie par :
f(0)=1/2
f(x+1)=(1+f(x))/(1-f(x))
calculer f(n^2) pr tt n de N
bonne chance
PS: c'est un exo de ma création, mais inspiré d'un exercice d'olympiades

si on prends x=0 , f(1)= 2/0 !!!

ah oui, excuse moi, je vais éditer mon post, c pas 1, mais 1/2
merci

ok, merci pour l'effort

Ca fait 20mn que je me casse la tête avec cet exercice, et en fait, j'avais mal lu. ^_^"
Premièrement, on remarque que f(x+4)=f(x) (facile à démontrer avec la relation donnée) (*)
D'autre part, on sait que n=0[4] ou n=1[4] ou n=2[4] ou n=3[4]
=> n²=0[4] ou n²=1[4]
En appliquant (*), on trouve f(n²)=f(0)=1/2 ou f(n²)=f(1)=3

@+

bravo mhdi, c'est bien ça la solution !!
il serait aussi utile de préciser que f(n^2)=1/2 si n est pair, et f(n^2)=3 si n est impaire !
chapeau ^^

à vous mnt, je voudrais que vous postiez des exos de haut niveau, les olympiades approchent à grand pas, et on n'en a un peu trop vu de séries et d'exercices qui se répètent.
donc si vous aimez bien l'idée, on résèrve ce topic pour des exos de taille, à vos clavier

ok!!, voilà un bon exo, facile mais il faut de la concentration

trouver tt les fonctions qui vérifie :

f(x ) + f( 2x) = 0

Bonne chance!!

f(2x)=-f(x)
f(4x)=-f(2x)=f(x)
donc on a : pr tt x de R : f(4x)=f(x), donc f est constante
=>f(2x)=f(x)=> 2f(x)=0 => f(x)=0
donc la seule fonction verifiant la relation donnée est la fonction nulle !

voilà un autre exo sympa :
montrer que l'equation sigma(x^k)=1 de k=1 jusqu'à n admet une unique solution dans l'intervalle )0;1(

je donne mon ideé, je suis pas certain car j'ai fait en vitesse!!!

1+x+x^2+............+x^(n-1) n'est pas forcément superieur à 1 ( x appartient à R )

Il est facile de démontrer que l'équation admet une solution AU PLUS. Mais pour montrer qu'elle admet une solution, je n'ai pas trouvé de bonne méthode(passage par les fonctions, etc.)

mhdi a écrit:

Il est facile de démontrer que l'équation admet une solution AU PLUS. Mais pour montrer qu'elle admet une solution, je n'ai pas trouvé de bonne méthode(passage par les fonctions, etc.)

tu suppose qu'elle admet 2 solutions , et tu demontre qu'ils sont égales
(comme pour demontrer que f injective)

Voilà. Ca c'est pour démontrer qu'elle admet une solution AU PLUS(donc 1 ou 0).

c'est bien ça mhdi, on utilise les fonctions, t'y es presque;)
allez les amis, si vous voulez que je poste ma solution, dites le moi !
j'ai hâte de voir vos exercices

1-Démontrer que f(x) est croissante
2-calculer f(0) et (1)
3-Conclure qu'elle admet une seule solution.

Mais c'est pas top je trouve. :S

c'est bien ça mhdi
justement, après avoir demontré que f(x) est croissante, on calcule f(0) et f(1)
on obtient : f(0)=0 et f(1)=n, puisque n>1 alors f(1)>1
soit e une solution de l'equation ( nous ne savons pas si c'est la seule ) f(e)=1, donc f(0)<f(e)<f(1)
et puisque f est croissante sur R+ : 0<e<1
pour montrer que e est unique : f est strictement croissante, donc monotone, de plus il s'agit d'un polynome, donc continu sur R.
on en conclut que f(x) est une bijection, donc 1 a un seul antécédant e, donc il existe une seule solution à l'equation donnée
à vous mnt

voilà je poste un nouvel exo en attendant que les membres s'activent :
c'est un exo d'olympiades, mais je donne une question préliminaire pour guider :
1-etudier les variations de f(x)=x/(x+1)
2- posons f(a;b)=(/a-b//(/a-b/+1)
montrer que f(a;b)<=f(a;c)+f(c;b) pr tt a,b,c différents de R
PS: /.../ veut dire la valeur absolue

allez, je donne un indice : /a-b/est tjs inferieur ou egal à /a-c/+/c-b/

milor18 a écrit:

allez, je donne un indice : /a-b/est tjs supérieur ou egal à /a-c/+/c-b/

Oh !!! Mon DIEU !! Que vois-je !!
L' Inégalité Triangulaire défigurée !!!!!!
Vite un Chirurgien Esthétique .........
Pour tous a, b et c dans IR , on a :
|a-b|<= |a-c| + |c-b|

ah, mdr !!
merci de me l'avoir signaler je vais éditer mon post
alors, des idées pr l'exo ?

milor18 a écrit:

voilà je poste un nouvel exo en attendant que les membres s'activent :
c'est un exo d'olympiades, mais je donne une question préliminaire pour guider :
1-etudier les variations de f(x)=(x+1)/x
2- posons f(a;b)=(/a-b/+1)/(/a-b/)
montrer que f(a;b)>=f(a;c)+f(c;b) pr tt a,b,c différents de R
PS: /.../ veut dire la valeur absolue

prends (1,2,3) , ( si je ne me trempe pas bien sur!!)

ah mince, j'avais encore oublié de rectifier ça ! c'est inferieur ou egal po la contraire ! merci ^^
tjs rien ? vs voulez que je propose ma solution ?

milor18 a écrit:

ah mince, j'avais encore oublié de rectifier ça ! c'est inferieur ou egal po la contraire ! merci ^^
tjs rien ? vs voulez que je propose ma solution ?

Hi milor18 !!!
Please ! Wait a moment !!