ELLE RESSEMBLE A L'EQUATOIN DE FERMAT!!!!!!

DETERMINEZ TOUS LES ENTIERS SATISFAISANTS LA RELATION SUIVANTE:

X^3+2Y^3=4Z^3

salam

je suppose : x , y , z non nuls

soit d = pgcd(x,y,z)

x=dx' , y=dy' , z=dz' avec pgcd(x',y',z') = 1

=====> d^3( x'^3 + 2y'^3 ) = d^3(4z'^3)

===> x'^3 + 2y'^3 = 4z'^3

==> x' pair , x'=2x'' ====> y' pair , y'=2y'' ====> z' pair

absurde avec pgcd(x',y',z')=1

donc pas de solution

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le seul cas particulier x=y=z=0

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bonsoir;
une autre solution; il est claire que x est paire posez: x=2x'
l'équation devient 8x'^3+2y^3=4z^3<=>4x'^3+y^3=2z^3
d'ou y est paire; on pose alors y=2y' l'équation devient:
4x'^3+8y'^3=2z^3<=>2x'^3+4y'^3=z^3 d'ou z est aussi paire on pose;z=2z' l'équation devient: 2x'^3+4y'^3=8z'^3
<=>x'^3+2y'^3=4z'^3
alors si (x;y;z) est une solution (x';y';z')=(x/2;y/2;z/2) et il est claire que par la même methode on peut prouver que pour tous n dans N on a: (x/2^n;y/2^n;z/2^n) est une solution ce qui donne une suite strictement decroissante de solution et puisqu'il n'en existe plus dans N on déduit directement que la seule solution est lorsque; x=x/2=...=x/2^n et y=y/2=...=y/2^n et z=z/2=...=z/2^n <=> x=y=z=0.
@+M.El Alami

salam

mathmaster a écrit à la fin

.............et puisqu'il n'en existe plus dans IN ............

je suis désolé ce n'est pas mathématique ce genre d'argumentation

comment passer de X/2^n à 0 ??

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j'ai démontrer que si il existait une solution (x,y,z) alors (x/2^n;y/2^n;z/2^n) l'est aussi, mais quelque soit x ou y ou z, il existe un nombre n tels que x=<2^n<=> x/2^n=<1 qui n'appartient pas a IN sauf si x=0, alors la solution est de x=0. j'espere que tu as compris.

mathsmaster a écrit:

j'ai démontrer que si il existait une solution (x,y,z) alors (x/2^n;y/2^n;z/2^n) l'est aussi, mais quelque soit x ou y ou z, il existe un nombre n tels que x=<2^n<=> x/2^n=<1 qui n'appartient pas a IN sauf si x=0, alors la solution est de x=0. j'espere que tu as compris.

enfin c'est bon si on travaillais dans N , il suffira de dire qu'on a une descente infinie. le probléme c'est qu'on travail sur les entier ça veux dire Z qui n'est pas minorée

salam

avec toute modéstie

ma solution est plus rigoureuse.

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merci, mais l'utilisation de la descente infinie et plus utile et je la trouve plus joli et plus facile, et n'oubli pas que tu as la libérté de choisir la solution qui te plaisse, mais je te conseille d'avoir la solution que j'ai proposé en tête car elle t'aidera bien a resoudre des diophantiennes, pour conan merci bcp de votre remarque, mais je l'ai fait expret en essayant d'expliquer la loi de descente infini car il y on a ceux qu'ils ne la connaissent pas,
@+