Fonction Gamma

Trouver un equivalent de la fonction Gamma au voisnage de 0 et +oo.

Montrer par deux methodes differentes qu'elle est logarithmiquement convexe.


Rappel : Gamma(x)=int(0,+oo,t^(x-1)e^-t)

BSR Weierstrass ( Je préfère Mahdi mais c'est ton choix !! )

Sans répondre à ta question , je saisis cette opportunité pour te conseiller un Livre de Référence qui traite de la question et de bien d'autres choses.
Il doit sûrement se trouver à la Bibal de ton bahut LMY !!
Il s'agit de :

<< Calcul Infinitésimal >>
de Jean DIEUDONNE ( Membre Fondateur du Groupe BOURBAKI , Ancien Professeur à la Fac. des Sciences de Nice , N'est plus de ce Monde )
Collection Méthodes
Editions Hermann Paris .

Perso , quand j'ai besoin de quelquechose , je vais d'abord à la Table des Matières et des fois , quand j'ai une insomnie , je me mets à le feuilleter .... le sommeil arrive en moins de cinq !!!

salut mahdi !!

il est clair que G (gamma = la fonction d'Euler) est définie sur ]0;+00[ car G(0)=int(0;+00){dt/(te^t)} qui est divergente donc .... bon on peut dire que G(x)~int(0->+00){dt/(texp(t)} au voisinage de 0.

et en utilisant les lemmes de Fatou ou bien le theorme de Lebesgue on a: |e^-t . t^(x-1)|<t^(x-1) qui est mesurable et postive alors on peut rentrer la limite dedans l'integrale.

-- G(x)= int(0->1){e^(-t)t^(x-1)dt} + int(1->+00){e^(-t)t^(x-1)dt}

au voisinnage de +00 G(x)-->+00.

et pour la deuxieme question: lnoG est convexe d'où la resultat.

Rq: je pense qu'il y 'a autre chose que me faux l'ajouté mais demain incha allah.
PS: G joue un role trés important dans la probabilité et physique...
merci @+
____________________________________________________________
lahoucine

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR Weierstrass ( Je préfère Mahdi mais c'est ton choix !! )

Sans répondre à ta question , je saisis cette opportunité pour te conseiller un Livre de Référence qui traite de la question et de bien d'autres choses.
Il doit sûrement se trouver à la Bibal de ton bahut LMY !!
Il s'agit de :

<< Calcul Infinitésimal >>
de Jean DIEUDONNE ( Membre Fondateur du Groupe BOURBAKI , Ancien Professeur à la Fac. des Sciences de Nice , N'est plus de ce Monde )
Collection Méthodes
Editions Hermann Paris .

Perso , quand j'ai besoin de quelquechose , je vais d'abord à la Table des Matières et des fois , quand j'ai une insomnie , je me mets à le feuilleter .... le sommeil arrive en moins de cinq !!!

Weierstrass s'avère long comme Pseudo , ca se voit

Sinon je vais voir si ce livre est dispo dans la biblio de mon lycée , je connais BOURBAKI biensur , d'ailleurs c'était votre ex pseudo...et apparemment ca concerne l'analyse non?Je vous en remercie.


mathema Ton post me semble un peu vague , je connais le lemme de Lebesgue mais j'ignore celui de Fatou, quels sont les equivalents que t'as trouvé?Tu as essayé avec la convexité?

Tu peux nous montrer (nous donner des liens si possible) quelques applications de G en physique.

Cordialement

j trouver pour l'infinis :gamma(x)~((x-1)/e)^(x-1)rac(2pi(x-1))

Weierstrass a écrit:

.....
Weierstrass s'avère long comme Pseudo , ca se voit
Sinon je vais voir si ce livre est dispo dans la biblio de mon lycée , je connais BOURBAKI biensur , d'ailleurs c'était votre ex pseudo...et apparemment ca concerne l'analyse non?Je vous en remercie

BJR Weierstrass !!
Tout à fait , c'est un Livre dédié à l'Analyse pour l'essentiel et aux problèmes d'Approximation . Ce livre est bougrement intéressant pour Toi !! Le développement concernant les Fonctions Eulériennes se trouve en Page 121 & suivantes !!!
A la Page 130 , j'ai trouvé l'équivalent asymptotique suivant :

GAMMA(x+1)~Rac(2.Pi).x^(x+(1/2)).exp(x)
C'est la Formule de Stirling lorsque x=n est entier très grand !!!

PS : BOURBAKI est devenu Bison_Fûté afin de rester dans le même esprit que son alter-égo Oeil_de_Lynx !!!!

kalm a écrit:

j trouver pour l'infinis :gamma(x)~((x-1)/e)^(x-1)rac(2pi(x-1))

Je crois que y'en a plus simple que ca

Oeil_de_Lynx a écrit:

Weierstrass a écrit:

.....
Weierstrass s'avère long comme Pseudo , ca se voit
Sinon je vais voir si ce livre est dispo dans la biblio de mon lycée , je connais BOURBAKI biensur , d'ailleurs c'était votre ex pseudo...et apparemment ca concerne l'analyse non?Je vous en remercie

BJR Weierstrass !!
Tout à fait , c'est un Livre dédié à l'Analyse pour l'essentiel et aux problèmes d'Approximation . Ce livre est bougrement intéressant pour Toi !! Le développement concernant les Fonctions Eulériennes se trouve en Page 121 & suivantes !!!
A la Page 130 , j'ai trouvé l'équivalent asymptotique suivant :

GAMMA(x+1)~Rac(2.Pi).x^(x+(1/2)).exp(x)
C'est la Formule de Stirling lorsque x=n est entier très grand !!!

PS : BOURBAKI est devenu Bison_Fûté afin de rester dans le même esprit que son alter-égo Oeil_de_Lynx !!!!

Ouais exactement c'est une generalisation de la formule de Stirling.L'équivalent au voisinage de 0 est par contre plus simple a trouver

Gamma(x)~~~1/x au voisnage de 0

Weierstrass a écrit:

Gamma(x)~~~1/x au voisnage de 0

salut mahdi !!!

tu vois pas que c'est evident!! si tu utilise la formule fonctionnelle de la fonction Gamma en effet:

je crois que tu as utiliser:

G(x+1)=xG(x)

donc lim(x->0){xG(x)}=lim(x->0){G(x+1)}=G(1)=1

alors lim(x->0){G(x)/(1/x)}=1 d'où .... ~!!!!!

et pour la formule géneralisé de stirling c'est un equivalent en +00. alors ....
merci.
PS: je sais est ce que vous avez etudié l'Optique physique ou non???
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lahoucine

Weierstrass a écrit:

kalm a écrit:

j trouver pour l'infinis :gamma(x)~((x-1)/e)^(x-1)rac(2pi(x-1))

Je crois que y'en a plus simple que ca

c la mm chose MR c juste un x au lieu de x-1

Weierstrass a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

Weierstrass a écrit:

.....
Weierstrass s'avère long comme Pseudo , ca se voit
Sinon je vais voir si ce livre est dispo dans la biblio de mon lycée , je connais BOURBAKI biensur , d'ailleurs c'était votre ex pseudo...et apparemment ca concerne l'analyse non?Je vous en remercie

BJR Weierstrass !!
Tout à fait , c'est un Livre dédié à l'Analyse pour l'essentiel et aux problèmes d'Approximation . Ce livre est bougrement intéressant pour Toi !! Le développement concernant les Fonctions Eulériennes se trouve en Page 121 & suivantes !!!
A la Page 130 , j'ai trouvé l'équivalent asymptotique suivant :

GAMMA(x+1)~Rac(2.Pi).x^(x+(1/2)).exp(x)
C'est la Formule de Stirling lorsque x=n est entier très grand !!!

PS : BOURBAKI est devenu Bison_Fûté afin de rester dans le même esprit que son alter-égo Oeil_de_Lynx !!!!

Ouais exactement c'est une generalisation de la formule de Stirling.L'équivalent au voisinage de 0 est par contre plus simple a trouver

J'ai pas dit que c'est difficile mathema

Oui on a fait l'optique en physique

salut mahdi !!!

Non j'ai dit pas l'Optique en physique mais l'optique physique car il y'a deux genre de l'optique:

--> optique geometrique (hadak likat9raw).

--> optique phisique (les rayons X et les interference complexe ....)
et merci
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lahoucine

mathema a écrit:

salut mahdi !!!

Non j'ai dit pas l'Optique en physique mais l'optique physique car il y'a deux genre de l'optique:

--> optique geometrique (hadak likat9raw).

--> optique phisique (les rayons X et les interference complexe ....)
et merci
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lahoucine

On fait l'optique geometrique et l'optique ondulatoire , comment ca se fait que tu es en prepas et tu connais pas le programme?

je suis pas d'abord au prepa mais j'ai bac+3 ... bon je sais ça mais je crois que dans les prepa il n'y a pas un profondement dans cette matière c'est tt

merci
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lahoucine

mathema a écrit:

je suis pas d'abord au prepa mais j'ai bac+3 ... bon je sais ça mais je crois que dans les prepa il n'y a pas un profondement dans cette matière c'est tt

merci
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lahoucine

hmmm...ça se discute.