exo de trigonométrie (facile)

sois x un nombre réel

1)montrez que :
(cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x+3(cosx)^4

2) montrez que : (cosx)^6+(sinx)^6 >= 1/4

1) utilisez l'identité remarquable : ( a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab^2 + b^3
2) la factorisation !!

bjr samix merci pou l'exo voilà ma solution:
1-on sait que a^3+b^3=(a+b)^3-3ab^2-3ba^2
remplaçons a par cos²x ;ET b par sin²x
alors (cosx)^6+(sinx)^6=(cos²x+sin²x)^3-3cos²x.(sinx)^4-3sin²x.(cosx)^4
d'où (cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x.sin²x(cos²x+sin²x)
donc (cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x.sin²x
d'où (cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x.(1-cos²x)
alors (cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x+3(cosx)^4
2-on a (cosx)^6+(sinx)^6=1-3cos²x+3(cosx)^4
alors on doit montrer que: 1-3cos²x+3(cosx)^4≥1/4
alors il suffit de montrer que: 4-12cos²x-12(cosx)^4≥1
4-12cos²x-12(cosx)^4-1=3-12cos²x-12(cosx)^4=3(1-4cos²x-4(cosx)^4)
d'où: 4-12cos²x-12(cosx)^4-1=3(1-2cos²x)^2
et puisque 3(1-2cos²x)^2≥0
alors 4-12cos²x-12(cosx)^4-1≥0
d'où 4-12cos²x-12(cosx)^4≥1
alors : 1-3cos²x+3(cosx)^4 >= 1/4
et finalement: (cosx)^6+(sinx)^6 >= 1/4

effectivement Majdouline, j'avais la même solution , et j'ai voulu seulement vous donné la Tête pour que l'idée de la solution soit claire .

je signale une erreur de frappe la ligne 4 :
(cosx)^6+(sinx)^6=(cos²x+sin²x)^3-3cos²x.(sinx)^4-3sin²x.(cosx)^4
(cosx)^6+(sinx)^6=(cos²x+sin²x)²-3cos²x.(sinx)^4-3sin²x.(cosx)^4

anass-sci a écrit:

1) utilisez l'identité remarquable : ( a+b)^3 = a^3 + 3a²b + 3ab^2 + b^3
2) la factorisation !!

oui anass on peut utiliser cette identité ..pourtant.. y 'en a plusieurs methodes
voici une:
cosx^6+sinx^6=(cosx^2)^3+(sinx^2)^3
prenons A=cosx^6+sinx^6
alors A=((cosx^2)+(sinx^2)).((cosx)^4-(cosx.sinx)^2+(sinx^4))
et le reste n'est que du calcul
j'etais en train d' ecrire mon premier message quand tu a posté le tien

Merci Majdouline ,
Mais l'erreur de frappe !!!

ok c fait...j'ai corrigé mon erreur...mais mon erreur de frappe etait en ligne2 et pas la 4...
je te remercie bien pour cette remarque....

de rien !!

ouais c'est juste majdouline bravo

bonsoir ,
voilà un exo assez facile que le premier :
cosx - sinx = V2 ( racine carré de 2 )
trouver Cosx et sinx

@+

sans blague !!

je te propose un exo plus fin:

(cosx)^2008 - (sinx)^2008 = 1

trouver cosx et sinx ?

---------------------------

anass-sci a écrit:

bonsoir ,
voilà un exo assez facile que le premier :
cosx - sinx = V2 ( racine carré de 2 )
trouver Cosx et sinx

@+

cosx-sinx = V2
<=>(cos-sinx)²=2
<=>cos²x+sin²x -2cosxsinx =2
<=>1-2=2cosxsinx
<=>cosxsinx=-1/2

cos²x+sin²x=1
<=>(cosx+sinx)²-2cosxsinx=1
<=>(cosx+sinx)²=1+2cosxsinx
<=>(cosx+sinx)²=1-1=0
<=>cosx+sinx =0

et on aura le systeme suivant:

cosx+sinx=0
{
cosx-sinx=V2

et on va trouver cosx = V2/2 et sinx= -V2/2

oui g fais la meme solution que toi mais.. t'as une p'tite erreur de frappe à la ligne2 : (cosx-sinx)²=2 et pas (cos²-sin²x)=2

oui t raison une faute de frappe
merci pour la remarque

de rien !