Bonjour,
Si je comprends bien le problème comme :
" déterminer toutes les fonctions f définies sur R et telles que, pour tout x réel : f(f(x)) = k*x^9 "
Alors je suis surpris : cela ne me semble pas être un exercice d'olympiade. c'est une équation fonctionnelle assez classique dont la résolution complète est à mon avis très compliquée.
On a bien sûr la solution triviale :
Si k > 0 : f(x) = k^(1/4) x^3
Si k < 0 : f(x) = -(-k)^(1/4) x^3
Mais, rien que dans le registre des fonctions continues, il y a une infinité de solutions, et ne parlons pas des solutions non continues ! :
Prenons k>0 et supposons que l'on puisse mettre kx^9 sous la forme (dite d'Abel) kx^9 = h^[-1](h(x)+1)
Alors on a une solution f(x) = h^[-1](h(x)+1/2)
Or :
1) une forme d'Abel existe pour kx^9 :
kx^9 = h^[-1](h(x)+1)
avec h(x) = Ln(1+8Ln(x)/Ln(k))/Ln(9)
Cette forme donne bien comme solution k^(1/4) x^3
2) Lorsqu'une forme d'Abel existe pour une fonction g(x), on sait que l'on peut en trouver une infinité :
Soit t(x) une fonction périodique de période 1 et telle que t(x)+x soit bijective (par exemple prendre t dérivable avec t'(x) > -1 sur R) alors :
Soit g(x) = h^[-1](h(x)+1)
Soit u(x) = t(x) + x (bijective donc)
On a : u(x+1) = t(x+1) + x+1 = u(x)+1
Soit alors p(x) = u(h(x))
p^[-1](x) = h^[-1](u^[-1](x))
p^[-1](p(x)+1) = h^[-1](u^[-1](p(x)+1))
p^[-1](p(x)+1) = h^[-1](u^[-1](u(h(x))+1))
p^[-1](p(x)+1) = h^[-1](u^[-1](u(h(x)+1)))
p^[-1](p(x)+1) = h^[-1](h(x)+1)
p^[-1](p(x)+1) = g(x)
Donc, u(h(x)) induit une nouvelle forme d'Abel de g(x).
On peut donc trouver autant de formes d'Abel distinctes de kx^9 que l'on veut.
On peut donc trouver autant de solutions distinctes au problème posé (et encore, en ne cherchant que des fonctions bijectives continues ....).
Je suis curieux de savoir d'où sort ce problème.
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Patrick
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