Soient a et b deux nombres complexes.
Soit E l'ensemble des suites (U_n) vérifiant :
quel que soit n£IN U(n+2)=a*U(n+1)+b*Un
a)Mq E est un C espace vectoriel.
b) f :E ----->C²
U_n----->(U0,U1)
Montrer que f est un C isomorphisme et en déduire la dimE.
c)Mq la recherche des suites géométrique dans E (Un=r^n,r£C)
amené en général deux suite solutions , formant une base de E.
lorsque a²+4b différant de 0.
Mq qu'il y a une suite de E de la forme Un=r^n et que (Vn) définie par :
Vn=(n)*Un =n*r^n est également élément de E.
d)donnez la forme générale des éléments de E.
e)Calculer (Un) en fonciton de n dans les trois cas suivant :
1)U_0=1 U_1=1 et Un=(7/5)*U(n+1) + 2U_n
2)U_0=0 U_1=1 et Un+2=Un+1 - Un
3) U_0=U_1=1 et Un+2=Un+1 + Un ( Une pincée d'histoire : Cette suite doit son nom au mathématicien
italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples
obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un
nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »Ce problème est à l'origine de la suite dont le
-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au
-ème mois)
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