Une limite

Salut ^^

Je voudrai un coup de pouce pour démontrer que la limite de b_n=0 où:

b_n=1/n².sigma de k=1 à k=n arctan²(k/n)

Merci

salut mathilde !!!

on pose:



donc:

(si n-->+00)

car:
v(n) est strictement croissante et

donc:


¨PS: il y'a d'autres methodes aussi tres simple par exemple l'encadrement directe de b(n) ..... etc
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lahoucine

mathema a écrit:

salut mathilde !!!

on pose:



donc:

(si n-->+00)

car:
v(n) est strictement croissante et

donc:


¨PS: il y'a d'autres methodes aussi tres simple par exemple l'encadrement directe de b(n) ..... etc
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lahoucine

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Lahoucine !!

C'est tout à fait JUSTE ce que tu as écrit là !!
Mais comme Mathilde veut simplement prouver que Lim bn=0 quand n-->+oo ; il est plus rapide d'agir ainsi :
On a |Arctan(x)| < Pi/2 pour tout x dans IR
donc SIGMA { k=1 à n ; Arctan^2(k/n) } < n.{Pi/2}^2
d'ou 0 < bn < {Pi}^2/{4.n}
puis par le Théorème des Gendarmes , on aura la conclusion désirée !!!

PS : Il est CLAIR que ta majoration 0 < bn < {Pi}^2/{16.n} est plus INTERESSANTE que la mienne .... mais tu arrives aussi à la conclusion en payant plus cher !!!

Bonne Journée à Vous Toutes et Tous !!

salut Mr Lhassane !!!

Oui c'est tres facile de calculer cette limites et j'ai signalé dans mon PS qu'il y'a des methodes tres simples directes:

par exemple on peut montrer que 0 < b(n) < (pi/4n)² d'ou la limite --->0.
car sum{k=1-->n}arctan²(k/n) > arctan²(n/n)=(pi/4)²....

et merci
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lahoucine

Salut

Merci beaucoup pour vos réponses,j'aurai pas fait mieux

Cepedant je voudrai comprendre à propos de la majoration,je reprends

On a k=<n donc arctan²(k/n)<(pi/4)² alors arctan²(k/n)/n²<(pi/4n)² en sommant de k=0 à k=n on obtient b_n<(pi/4n)²*(sum_k=0-->k=n)=n(n+1)/2*(pi/4n)² mais la limite de ce qui est en rouge n'est pas 0 ? j'ai fais une erreur.

Merci encore
A+