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 Une limite

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Mathilde
Habitué


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MessageSujet: Une limite   Une limite EmptyMar 14 Avr 2009, 22:39

Salut ^^

Je voudrai un coup de pouce pour démontrer que la limite de b_n=0 où:

b_n=1/n².sigma de k=1 à k=n arctan²(k/n)

Merci
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mathema
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mathema

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MessageSujet: Re: Une limite   Une limite EmptyMer 15 Avr 2009, 01:50

salut mathilde Wink !!!

on pose:

Une limite Cbcb53383ab5c01599466c58fbfdee90f1a86fd5

donc:

Une limite 1f5238d8e3e093618611b6b462c9e362d8276651 (si n-->+00)

car:
v(n) est strictement croissante et Une limite 3215fa4d7e403e9f7d6d626d15b27a085c686c62

donc:
Une limite 627a7509f86ba516f7341e423cc24ae12128db33

¨PS: il y'a d'autres methodes aussi tres simple par exemple l'encadrement directe de b(n) ..... etc
____________________________________________________________
lahoucine
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Oeil_de_Lynx
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Oeil_de_Lynx

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MessageSujet: Re: Une limite   Une limite EmptyMer 15 Avr 2009, 08:40

mathema a écrit:
salut mathilde Wink !!!

on pose:

Une limite Cbcb53383ab5c01599466c58fbfdee90f1a86fd5

donc:

Une limite 1f5238d8e3e093618611b6b462c9e362d8276651 (si n-->+00)

car:
v(n) est strictement croissante et Une limite 3215fa4d7e403e9f7d6d626d15b27a085c686c62

donc:
Une limite 627a7509f86ba516f7341e423cc24ae12128db33

¨PS: il y'a d'autres methodes aussi tres simple par exemple l'encadrement directe de b(n) ..... etc
____________________________________________________________
lahoucine


BJR à Toutes et Tous !!
BJR Lahoucine !!

C'est tout à fait JUSTE ce que tu as écrit là !!
Mais comme Mathilde veut simplement prouver que Lim bn=0 quand n-->+oo ; il est plus rapide d'agir ainsi :
On a |Arctan(x)| < Pi/2 pour tout x dans IR
donc SIGMA { k=1 à n ; Arctan^2(k/n) } < n.{Pi/2}^2
d'ou 0 < bn < {Pi}^2/{4.n}
puis par le Théorème des Gendarmes , on aura la conclusion désirée !!!

PS : Il est CLAIR que ta majoration 0 < bn < {Pi}^2/{16.n} est plus INTERESSANTE que la mienne .... mais tu arrives aussi à la conclusion en payant plus cher !!!

Bonne Journée à Vous Toutes et Tous !!
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mathema
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mathema

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MessageSujet: Re: Une limite   Une limite EmptyMer 15 Avr 2009, 14:19

salut Mr Lhassane Wink !!!

Oui c'est tres facile de calculer cette limites et j'ai signalé dans mon PS qu'il y'a des methodes tres simples directes:

par exemple on peut montrer que 0 < b(n) < (pi/4n)² d'ou la limite --->0.
car sum{k=1-->n}arctan²(k/n) > arctan²(n/n)=(pi/4)²....

et merci
____________________________________________________
lahoucine
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Mathilde
Habitué


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MessageSujet: Re: Une limite   Une limite EmptyMer 15 Avr 2009, 18:59

Salut Smile

Merci beaucoup pour vos réponses,j'aurai pas fait mieux Smile

Cepedant je voudrai comprendre à propos de la majoration,je reprends

On a k=<n donc arctan²(k/n)<(pi/4)² alors arctan²(k/n)/n²<(pi/4n)² en sommant de k=0 à k=n on obtient b_n<(pi/4n)²*(sum_k=0-->k=n)=n(n+1)/2*(pi/4n)² mais la limite de ce qui est en rouge n'est pas 0 ? j'ai fais une erreur.

Merci encore
A+
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MessageSujet: Re: Une limite   Une limite Empty

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