une série absolument convergente

bonjour
je propose l'exercice suivant que je viens de mettre aussi sur le site de mathsland :cliquer ici pour le visualiser

hmmm c'est l'exercice que vous m'avez proposé dans le colle mais dans un cas particulier.Si vous voulez je rerédigerai la solution dans le cas générale.

Indication

lemme : Soit(E,d) un espace métrique. A une partie de E tel que:
qqs x,y de A avec x#y , d(x,y)>=k. ( k une constante >0) . Alors:
1) A est fermé dans E;
2) Si E est un e.v.n de dimension finie, qqs x€E\A, d(x,A) est atteinte.

Preuve: 1) soit (a_n) une suite de A qui converge dans E ==> elle est de Cauchy alors à partir d'un certain rang elle est stationnaire
==> la limite est dans A.
2) soit x€E\A, A est fermé ==> il existe r>0 tel que B'(x,r)nA non
vide ==> d(x,A)=inf {d(x,y) / y dans B'(x,r)nA}
or B'(x,r)nA compact d'où le résultat.


En d'autres termes la suite (a_n) forment un ensemble discret ( les points sont isolés)

la solution que monsieur mohammed m'a proposée se base sur des trucs de combinatoire.


QUESTION DE BONUS:

donner un exmple d'une suite qui diverge pour x=2.

Bonjour


Pour Redouane puisque tu as déjà traité cette question essaye justement de la refaire à l'aide d'autres méthodes comme le lemme indiqué par Mr Attioui

il y a aussi la question bonnus , j'attends de toi qq chose

j'ajoute une question :

on note f(x) la somme pour tout x>2

determiner lim f(x) quad x tends vers 2 à droite

Etudier la dérivabilité de f

j'ajoute une chose,on peut généraliser la condition pour tout k>0;ie pour tout m#n de IN |u_m-u_n|>k on aura la conclusion citée.


bon pour l'exemple pour x=2

soit la suite définie par l'énumération des complexes z=j+ik tels que (j,k)£IN² et |k|<j/2.

on a Re(1/z²_n)=enRe(1/z²_n)=(j²-k²)/(j²+k²)² (en c'est à dire l'énumération)

on a donc il existe une constance A (qu'on trouve en etudiant la fonction j--->(j²-k²)/(j²+k²)²) tel que enRe(1/z²_n)>=A/j²

par suite sum enRe(1/z²_n)>=A*sum_{j=1..+infty)*sum_{|k|<j/2}1/j²>=A*sum_{j=1..+infty}1/j

cette dernière somme diverge.CQFD!

Bonjour ;

Pour la première question voir http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=4f3f01af20928e51996e2c71e69cc598 sauf erreur bien entendu

c'est la mème réponse que celle que m'a donné Monsieur Lahoucine.

Bonjour


j'ai oublié de poser une question avant celle concernant la dérivabilité

il s'agit d'abord d'étudier la continuité de f
On eput aussi ressortir des résultats en remplaçant par exemple

la suite (a_n) par une suite de fonctions (g_n) bornéé sur une partie A de C tel que ||g_n - g-m||_A > 1 pour tout n et m disticts etc ....

||.||_A designe la norme infinie sur A ...