Inegalite: a faire absolument!

Soient a,b,c des reels positifs tels que: a+b+c=3

Montrer que racine(a)+racine(b)+racine(c)>=ab+bc+ac

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?elle~~est~~equivalente~~a~~:\\\2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq%202\left%20(%20ab+bc+ca%20\right%20)\Leftrightarrow%20a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq%20a^2+b^2+c^2+%202\left%20(%20ab+bc+ca%20\right%20)=(a+b+c)^2=3^2=9\\or~~x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq%203\sqrt[3]{x^2\times%20\sqrt{x}\times%20\sqrt{x}}=3x~~pour~~tout~~x\geq%200\\il~~resulte~~que~~a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq3(a+b+c)=9~~\blacksquare[/img]

Jolie inégalité MR Bel-jad .
celle ci est aussi vrai (own) :

Je comprends pas le changement de varibales que tu as fait...est ce que tu peux expliquer la premiere inegalite: comment tu passes de (a,b,c) a (r,s,t) ?

Jolie demonstration Younes, ta solution est meilleure que la mienne...

1) Premiere methode: Quelqu un peut la demontrer avec l inegalite de Holder ? ( tres bon entrainement )
2) Deuxieme methode: Quelqu un peut la demontrer avec la methode UVW ? ( tres bon entrainement )
3) Troisieme methode: En etudiant le maximum de la fonction rac(x)(3-x) ( tres bon entrainement )


J attends vos demonstrations...

tu peux nous montrer d'abord votre solution!!!

Je propose ma solution comme exercie, et quelqu un parmi vous essayes de le rediger:

1) Trouver l inegalite equivalente avec a = 3x/(x+y+z) , b = 3y/(x+y+z) , c = 3z/(x+y+z)
2) En utilisant AM-GM, montrer que: (xy+yz+zx)^2(x^2+x^2+z^2)<=(x+y+z)^6/27
3) Conclure par l inegalite de Holder.


Aller, a vous de jouer